ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.59 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

 Сфера пересечена плоскостью, отстоящей от её центра на 24 см. Найдите радиус сферы, если длина полученного сечения составляет \(\frac{3}{5}\) длины сечения сферы плоскостью, проходящей через её центр.

Из условия \( \frac{r}{R} = \frac{3}{5} \), значит \( r = 0,6R \).

По формуле сечения сферы \( r^2 = R^2 — n^2 \), подставляем \( r \) и \( n = 24 \):

\( (0,6R)^2 = R^2 — 24^2 \)

\( 0,36R^2 = R^2 — 576 \)

\( R^2 — 0,36R^2 = 576 \)

\( 0,64R^2 = 576 \)

\( R^2 = \frac{576}{0,64} = 900 \)

\( R = 30 \) см.

1. Пусть радиус сферы равен \( R \). Плоскость отстоит от центра сферы на расстоянии \( n = 24 \) см.

2. Радиус сечения, образованного плоскостью, обозначим \( r \). Согласно условию, длина сечения равна \( \frac{3}{5} \) длины диаметра сферы, то есть

\( 2r = \frac{3}{5} \cdot 2R \).

3. Отсюда следует, что

\( r = \frac{3}{5} R = 0,6 R \).

4. Радиус сечения сферы, отстоящей от центра на \( n \), вычисляется по формуле

\( r^2 = R^2 — n^2 \).

5. Подставим значения \( r = 0,6 R \) и \( n = 24 \):

\( (0,6 R)^2 = R^2 — 24^2 \).

6. Раскроем скобки и возведём в квадрат:

\( 0,36 R^{2} = R^{2} — 576 \).

7. Переносим все члены с \( R^{2} \) в одну сторону:

\( R^{2} — 0,36 R^{2} = 576 \).

8. Считаем разность коэффициентов:

\( 0,64 R^{2} = 576 \).

9. Находим \( R^{2} \):

\( R^{2} = \frac{576}{0,64} = 900 \).

10. Извлекаем корень:

\( R = \sqrt{900} = 30 \) см.