ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.61 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В шар вписана правильная шестиугольная призма \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\). Радиус шара, проведённый в вершину \(A\), образует с плоскостью грани \(AA_1B_1B\) угол \(45^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности призмы, если радиус шара равен 4 см.

Правильная шестиугольная призма вписана в шар радиуса \( R = 4 \). Радиус шара, проведённый в вершину \( A \), образует с плоскостью боковой грани угол 45°.

Пусть сторона основания \( a \), высота призмы \( h \), центр шара находится на середине высоты призмы. Тогда радиус шара равен \( R = \sqrt{a^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} \).

Угол между радиусом \( \vec{OA} \) и нормалью к боковой грани равен \( 45^\circ \), откуда \( \cos 45^\circ = \frac{a \sqrt{3}}{8} \), значит \( a = \frac{4 \sqrt{6}}{3} \).

Подставляем в уравнение радиуса шара: \( 16 = a^2 + \frac{h^2}{4} \), откуда \( h = \frac{8 \sqrt{3}}{3} \).

Площадь боковой поверхности \( S = P \cdot h = 6a \cdot h = 6 \cdot \frac{4 \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{8 \sqrt{3}}{3} = 64 \sqrt{2} \).

1. Правильная шестиугольная призма вписана в шар радиуса \( R = 4 \). Центр шара совпадает с серединой высоты призмы. Обозначим сторону основания призмы через \( a \), а высоту призмы через \( h \). Тогда вершина основания \( A \) имеет координаты \( (a, 0, 0) \), а центр шара — \( (0, 0, \frac{h}{2}) \). Расстояние от центра шара до вершины \( A \) равно радиусу шара, то есть \( R = \sqrt{a^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} \), откуда следует уравнение \( 16 = a^2 + \frac{h^2}{4} \).

2. Рассмотрим боковую грань призмы \( AA_1B_1B \). Векторы, образующие эту грань, это \( \vec{AB} = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0\right) \) и \( \vec{AA_1} = (0, 0, h) \). Нормаль к плоскости грани равна векторному произведению \( \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AA_1} = \left(\frac{a h \sqrt{3}}{2}, \frac{a h}{2}, 0\right) \). Радиус \( \vec{OA} = (a, 0, -\frac{h}{2}) \). Угол между радиусом и плоскостью равен 45°, значит угол между радиусом и нормалью к плоскости равен \( 90^\circ — 45^\circ = 45^\circ \). Косинус этого угла равен \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

3. Вычислим скалярное произведение \( \vec{OA} \cdot \vec{n} = a \cdot \frac{a h \sqrt{3}}{2} + 0 + \left(-\frac{h}{2}\right) \cdot 0 = \frac{a^2 h \sqrt{3}}{2} \). Модули векторов: \( |\vec{OA}| = \sqrt{a^2 + \frac{h^2}{4}} = 4 \) и \( |\vec{n}| = a h \). Тогда косинус угла между ними равен \( \frac{\frac{a^2 h \sqrt{3}}{2}}{4 \cdot a h} = \frac{a \sqrt{3}}{8} \). Приравниваем к \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), получаем \( a = \frac{4 \sqrt{6}}{3} \).

4. Подставляя \( a \) в уравнение радиуса шара, получаем \( 16 = \left(\frac{4 \sqrt{6}}{3}\right)^2 + \frac{h^2}{4} = \frac{16 \cdot 6}{9} + \frac{h^2}{4} = \frac{96}{9} + \frac{h^2}{4} = \frac{32}{3} + \frac{h^2}{4} \). Отсюда \( \frac{h^2}{4} = 16 — \frac{32}{3} = \frac{48}{3} — \frac{32}{3} = \frac{16}{3} \), значит \( h = \frac{8 \sqrt{3}}{3} \).

5. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту: \( S = P \cdot h = 6a \cdot h = 6 \cdot \frac{4 \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{8 \sqrt{3}}{3} = \frac{24 \sqrt{6} \cdot 8 \sqrt{3}}{9} = \frac{192 \sqrt{18}}{9} = \frac{192 \cdot 3 \sqrt{2}}{9} = 64 \sqrt{2} \).