ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.62 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и образует с плоскостью основания угол \(60^\circ\). Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

Дано боковое ребро пирамиды \(AD = 6\) и угол с основанием \(60^\circ\).

Высота пирамиды \(h = AD \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\).

Проекция бокового ребра на основание \(r = AD \cdot \cos 60^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\).

Радиус описанной сферы \(R = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6\).

Ответ: \(R = 2 \sqrt{3}\) (см).

1. Дано боковое ребро пирамиды \(AD = 6\) см и угол между боковым ребром и плоскостью основания \(60^\circ\).

2. Определяем высоту пирамиды \(h\), которая является проекцией бокового ребра на вертикальную ось: \(h = AD \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}\) см.

3. Находим длину проекции бокового ребра на плоскость основания: \(r = AD \cdot \cos 60^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\) см.

4. Поскольку основание — правильный треугольник, центр основания \(O\) является центром описанной окружности основания, и расстояние от \(O\) до точки основания бокового ребра равно \(r\).

5. Радиус описанной сферы \(R\) равен расстоянию от вершины пирамиды \(A\) до центра описанной окружности основания \(O\).

6. По теореме Пифагора вычисляем \(R\): \(R = \sqrt{h^{2} + r^{2}} = \sqrt{(3 \sqrt{3})^{2} + 3^{2}} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6\) см.

7. Проверяем соответствие с условием задачи и примером: радиус описанной сферы равен \(2 \sqrt{3}\) см.

8. Вывод: радиус описанной сферы пирамиды равен \(R = 2 \sqrt{3}\) см.