ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.63 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь поверхности правильного тетраэдра, вписанного в шар, радиус которого равен \(R\).

Рассмотрим центр описанного шара, который лежит на высоте пирамиды \( SO_1 \).

Выразим ребро тетраэдра через радиус шара \( R \). Обозначим ребро тетраэдра \( a \).

Высота пирамиды:
\( SO_1 = SO + OO_1 \).

В треугольнике \( \triangle ABC \):
\( AO_1 = \frac{a \sqrt{3}}{3} \).

В треугольнике \( \triangle AOO_1 \):
\( OO_1^2 = AO^2 — AO_1^2 = R^2 — \frac{a^2}{3} \).

Подставляя в выражение для высоты:
\((SO_1)^2 = (SO + OO_1)^2\),
а также используя \( SO_1^2 = SA^2 — AO_1^2 \),
получаем уравнение:
\( a^2 = \frac{2}{3} \cdot 4R^2 \),
откуда
\( a = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot 2R \).

Площадь поверхности тетраэдра равна четырём равносторонним треугольникам со стороной \( a \):
\( S_{пов} = 4 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = a^2 \sqrt{3} \).

Подставляя \( a^2 = \frac{8}{3} R^2 \),
получаем:
\( S_{пов} = \frac{8 \sqrt{3}}{3} R^2 \).

Ответ:
\( \frac{8 \sqrt{3}}{3} R^2 \).

Рассмотрим правильный тетраэдр с ребром \( a \), описанный около шара радиуса \( R \). Центр описанного шара обозначим \( O \), он лежит внутри тетраэдра. Поскольку тетраэдр правильный, центр описанного шара совпадает с точкой пересечения высот, а именно с точкой на высоте пирамиды \( SO_1 \), где \( S \) — вершина тетраэдра, а \( O_1 \) — центр основания, равностороннего треугольника \( ABC \).

В основании \( ABC \) центр \( O_1 \) является центроидом и находится на расстоянии \( AO_1 = \frac{a \sqrt{3}}{3} \) от вершины \( A \). Радиус описанного шара \( R \) равен расстоянию от центра шара \( O \) до вершины \( A \), то есть \( AO = R \). Рассмотрим треугольник \( AOO_1 \). По теореме Пифагора длина отрезка \( OO_1 \) вычисляется как
\( OO_1^2 = AO^2 — AO_1^2 = R^2 — \frac{a^2}{3} \).
Это означает, что расстояние от центра шара \( O \) до центра основания \( O_1 \) зависит от ребра тетраэдра и радиуса описанного шара.

Далее высота пирамиды \( SO_1 \) равна сумме отрезков \( SO \) и \( OO_1 \), где \( SO \) — расстояние от вершины \( S \) до центра шара \( O \). Из геометрии правильного тетраэдра известно, что высота пирамиды выражается через ребро \( a \) как
\( SO_1^2 = SA^2 — AO_1^2 = a^2 — \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3} \).
Поскольку \( SO_1 = SO + OO_1 \), подставляем:
\( (SO + OO_1)^2 = \frac{2a^2}{3} \).
Из симметрии тетраэдра следует, что \( SO = R \), поэтому
\( (R + \sqrt{R^2 — \frac{a^2}{3}})^2 = \frac{2a^2}{3} \).
Раскрывая скобки и упрощая, получаем уравнение, связывающее \( a \) и \( R \):
\( a^2 = \frac{8}{3} R^2 \),
откуда
\( a = \sqrt{\frac{8}{3}} R = \frac{2 \sqrt{6}}{3} R \).

Площадь поверхности тетраэдра состоит из четырёх равносторонних треугольников со стороной \( a \). Площадь одного такого треугольника равна
\( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \),
поэтому площадь всей поверхности равна
\( S_{пов} = 4 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = a^2 \sqrt{3} \).
Подставляя выражение для \( a^2 \), получаем
\( S_{пов} = \frac{8}{3} R^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{8 \sqrt{3}}{3} R^2 \).

Таким образом, площадь поверхности правильного тетраэдра, описанного около шара радиуса \( R \), равна
\( \frac{8 \sqrt{3}}{3} R^2 \).