ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.65 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите отношение радиуса шара, вписанного в правильную треугольную призму, к радиусу шара, описанного около этой призмы.

Пусть \(a\) — ребро основания призмы.

Радиус вписанного шара:
\[
OO_1 = O_1H,
\]
в треугольнике \( \triangle ABC \):
\[
AH = \frac{a \sqrt{3}}{2}, \quad O_1H = \frac{1}{3} AH = \frac{a \sqrt{3}}{6},
\]
значит
\[
OO_1 = \frac{a \sqrt{3}}{6}.
\]

Радиус описанного шара:
\[
AO_1 = \frac{a \sqrt{3}}{3}.
\]
В прямоугольном треугольнике \( \triangle OO_1A \):
\[
OO_1 \perp O_1A,
\]
по теореме Пифагора:
\[
O_1A^2 = OO_1^2 + AO_1^2 = \left(\frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2 + \left(\frac{a \sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{a^2}{12} + \frac{a^2}{3} = \frac{5a^2}{12},
\]
откуда
\[
O_1A = \frac{\sqrt{5} a}{2 \sqrt{3}}.
\]

Отношение радиусов:
\[
\frac{OO_1}{AO} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{6}}{\frac{a \sqrt{5}}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = 1 : \sqrt{5}.
\]

Ответ: \(1 : \sqrt{5}\).

Пусть \(a\) — ребро основания призмы. Для начала рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \), который является основанием призмы и представляет собой равносторонний треугольник со стороной \(a\). Высота этого треугольника равна \(AH = \frac{a \sqrt{3}}{2}\). Точка \(O_1\) — это центр вписанной окружности треугольника, который делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому расстояние от \(O_1\) до основания \(H\) будет равно \(O_1H = \frac{1}{3} AH = \frac{a \sqrt{3}}{6}\). Поскольку радиус вписанного шара равен расстоянию \(OO_1\), которое совпадает с \(O_1H\), то радиус вписанного шара равен \(OO_1 = \frac{a \sqrt{3}}{6}\).

Далее найдем радиус описанного шара. Центр описанной окружности треугольника \( \triangle ABC \) обозначим как \(O_1\). Расстояние от центра треугольника до вершины равно \(AO_1 = \frac{a \sqrt{3}}{3}\). Треугольник \( \triangle OO_1A \) прямоугольный, так как \(OO_1 \perp O_1A\). Чтобы найти расстояние \(O_1A\), применим теорему Пифагора: \(O_1A^2 = OO_1^2 + AO_1^2\). Подставляя известные значения, получаем \(O_1A^2 = \left(\frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2 + \left(\frac{a \sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{a^2}{12} + \frac{a^2}{3} = \frac{5a^2}{12}\). Следовательно, \(O_1A = \frac{\sqrt{5} a}{2 \sqrt{3}}\).

Теперь определим отношение радиусов вписанного и описанного шаров. Радиус вписанного шара \(OO_1 = \frac{a \sqrt{3}}{6}\), а радиус описанного шара \(AO = \frac{a \sqrt{5}}{\sqrt{3}}\). Отношение радиусов будет равно \(\frac{OO_1}{AO} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{6}}{\frac{a \sqrt{5}}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\). Это означает, что радиус вписанного шара в \( \sqrt{5} \) раз меньше радиуса описанного шара, или отношение радиусов равно \(1 : \sqrt{5}\).