ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.66 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь поверхности правильного тетраэдра, описанного около шара, радиус которого равен \(R\).

Окружность — это диаметральное сечение сферы, диаметр которой равен диаметру вписанного шара. Окружность касается всех граней тетраэдра, все грани — правильные треугольники.

Пусть ребро тетраэдра \( AB = a \). Высоты граней тетраэдра равны \( MS = MB = \frac{a \sqrt{3}}{2} \), \( MH = \frac{a \sqrt{3}}{6} \), \( MK = MH = \frac{a \sqrt{3}}{6} \), \( SK = BH = \frac{a \sqrt{3}}{3} \).

Найдём высоту тетраэдра. По подобию треугольников \(\triangle SMH \sim \triangle SOK\):

\[
\frac{SM}{SO} = \frac{MH}{OK}, \quad \frac{a \sqrt{3} / 2}{SO} = \frac{a \sqrt{3} / 6}{R}, \quad SO = 3R,
\]

тогда высота \( SH = SO + OH = 3R + R = 4R \).

Выразим ребро тетраэдра через радиус \( R \) шара из треугольника \( \triangle SHM \):

\[
SH^2 = SM^2 — MH^2,
\]

\[
(4R)^2 = \left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2 — \left(\frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2,
\]

\[
16R^2 = \frac{3a^2}{4} — \frac{3a^2}{36} = \frac{2a^2}{3},
\]

откуда

\[
a = 2 \sqrt{6} R.
\]

Площадь поверхности правильного тетраэдра:

\[
S_{\text{пов}} = 4 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = a^2 \sqrt{3} = \left(2 \sqrt{6} R\right)^2 \sqrt{3} = 24 R^2 \sqrt{3}.
\]

Ответ: \( 24 R^2 \sqrt{3} \).

Окружность, рассматриваемая в задаче, является диаметральным сечением сферы, вписанной в правильный тетраэдр. Диаметр этой окружности равен диаметру вписанного шара, который касается всех граней тетраэдра. Поскольку все грани тетраэдра — правильные треугольники, можно использовать свойства правильных треугольников и их высот для дальнейших вычислений.

1. Пусть ребро правильного тетраэдра равно \( a \). Высоты граней тетраэдра, которые являются правильными треугольниками, равны \( MS = MB = \frac{a \sqrt{3}}{2} \). Далее высота \( MH \) равна одной трети от \( MB \), то есть \( MH = \frac{1}{3} MB = \frac{a \sqrt{3}}{6} \). Аналогично \( MK = MH = \frac{a \sqrt{3}}{6} \). Высота \( SK \), равная высоте равностороннего треугольника с ребром \( a \), равна \( SK = BH = \frac{a \sqrt{3}}{3} \). Эти высоты используются для определения высоты всего тетраэдра.

2. Для нахождения высоты тетраэдра рассмотрим треугольники \( \triangle SHM \) и \( \triangle SOK \). Из условия перпендикулярности \( SH \perp MH \), \( OK \perp SK \), а также подобия треугольников \( \triangle SMH \sim \triangle SOK \) следует равенство отношений:

\[
\frac{SM}{SO} = \frac{MH}{OK}.
\]

Подставляя значения, получаем:

\[
\frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{SO} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{6}}{R}.
\]

Отсюда выразим \( SO \):

\[
SO = 3R.
\]

Поскольку \( SH = SO + OH \), а \( OH = R \), то высота тетраэдра равна

\[
SH = 3R + R = 4R.
\]

3. Теперь выразим ребро \( a \) через радиус вписанного шара \( R \). Используем теорему Пифагора в треугольнике \( \triangle SHM \):

\[
SH^2 = SM^2 — MH^2.
\]

Подставляем известные выражения:

\[
(4R)^2 = \left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2 — \left(\frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2.
\]

Вычисляем квадраты:

\[
16R^2 = \frac{3a^2}{4} — \frac{3a^2}{36} = \frac{3a^2}{4} — \frac{a^2}{12} = \frac{9a^2}{12} — \frac{a^2}{12} = \frac{8a^2}{12} = \frac{2a^2}{3}.
\]

Отсюда находим ребро:

\[
a^2 = \frac{16R^2 \cdot 3}{2} = 24R^2, \quad a = 2 \sqrt{6} R.
\]

4. Для нахождения площади поверхности правильного тетраэдра используем формулу площади одного правильного треугольника с ребром \( a \):

\[
S_{\text{грань}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}.
\]

Площадь всей поверхности, состоящей из 4 граней, равна

\[
S_{\text{пов}} = 4 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = a^2 \sqrt{3}.
\]

Подставляем выражение для \( a \):

\[
S_{\text{пов}} = \left(2 \sqrt{6} R \right)^2 \sqrt{3} = 4 \cdot 6 R^2 \sqrt{3} = 24 R^2 \sqrt{3}.
\]

Ответ: \( 24 R^2 \sqrt{3} \).