ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.67 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус шара, вписанного в правильную четырёхугольную пирамиду, равен 3 см, а сторона основания пирамиды — 12 см. Найдите площадь боковой поверхности данной пирамиды.

Дано: \(KM = 6 \text{ см}\), \(OH = 3 \text{ см}\), треугольник \(KSM\) равнобедренный.

В треугольнике \(OHM\) угол \(OHM = 90^\circ\), поэтому \(\tan \angle HMO = \frac{OH}{HM} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

Угол \(\angle HMS = 2 \angle HMO\), тогда \(\tan \angle HMS = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{1 — \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}\).

Высота пирамиды \(SH = HM \cdot \tan \angle HMS = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8 \text{ см}\).

Апофема \(SM = \sqrt{SH^2 + HM^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10 \text{ см}\).

Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 \cdot 10 = 240 \text{ см}^2\).

1. В условии нам даны длины отрезков \(KM = 6 \text{ см}\) и \(OH = 3 \text{ см}\), а также известно, что треугольник \(KSM\) равнобедренный. Нужно найти высоту пирамиды \(SH\). Рассмотрим треугольник \(OHM\), в котором угол \(\angle OHM\) прямой, то есть равен \(90^\circ\). Это значит, что стороны \(OH\) и \(HM\) образуют прямоугольный треугольник. Чтобы найти тангенс угла \(\angle HMO\), используем отношение противолежащего катета \(OH\) к прилежащему катету \(HM\). По условию \(OH = 3\), \(HM = 6\), значит \(\tan \angle HMO = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Таким образом, угол \(\angle HMO\) известен через тангенс.

2. Следующим шагом является нахождение тангенса угла \(\angle HMS\). Поскольку угол \(\angle HMS\) равен удвоенному углу \(\angle HMO\), можно применить формулу тангенса двойного угла: \(\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 — \tan^2 x}\). Подставим сюда \(x = \angle HMO\) и значение \(\tan \angle HMO = \frac{1}{2}\). Получаем \(\tan \angle HMS = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{1 — \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}\). Это значение тангенса угла \(\angle HMS\) позволит нам найти высоту пирамиды.

3. Теперь вычислим высоту пирамиды \(SH\). В треугольнике \(SHM\) угол \(\angle SHM\) прямой, то есть равен \(90^\circ\). По определению тангенса, \(\tan \angle SHM = \frac{SH}{HM}\), следовательно, высота \(SH = HM \cdot \tan \angle HMS\). Подставляя известные значения, получаем \(SH = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8 \text{ см}\). Таким образом, высота пирамиды равна 8 сантиметрам.

4. Для нахождения апофемы \(SM\) рассмотрим треугольник \(SHM\), где угол \(\angle SHM\) прямой. Апофема — это гипотенуза в этом треугольнике, которую можно найти по теореме Пифагора: \(SM = \sqrt{SH^2 + HM^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}\). Апофема равна 10 сантиметрам.

5. Наконец, вычислим площадь боковой поверхности пирамиды. Формула площади боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\) равна половине произведения периметра основания \(P_{\text{осн}}\) на апофему \(SM\): \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot SM\). По условию периметр основания равен \(4 \cdot 12 = 48\), но в решении используется значение \(P_{\text{осн}} = 4 \cdot 12\) как \(48\), и подставляется в формулу вместе с апофемой: \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 \cdot 10 = 240 \text{ см}^2\). Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна 240 квадратных сантиметров.