ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.69 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота цилиндра равна диаметру основания. В данный цилиндр вписан шар. В этот шар вписан конус, образующая которого равна диаметру основания конуса. Найдите отношение площади боковой поверхности данного цилиндра к площади боковой поверхности данного конуса.

Обозначим радиус основания цилиндра за \( x \). Тогда сторона квадрата \( ABCD \) равна \( AB = AD = 2x \).

Радиус вписанного шара равен \( OF = x \).

Радиус описанной окружности треугольника \( EFG \) равен \( OF = x \), тогда сторона \( EF = \sqrt{3}x \).

Радиус основания конуса равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} x \).

Площадь боковой поверхности цилиндра:
\( S_{\text{бок.ц.}} = 2 \pi r h = 2 \pi x \cdot 2x = 4 \pi x^2 \).

Площадь боковой поверхности конуса:
\( S_{\text{бок.к.}} = \pi r l = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} x \cdot \sqrt{3} x = \frac{3}{2} \pi x^2 \).

Отношение боковых поверхностей:
\( \frac{S_{\text{бок.ц.}}}{S_{\text{бок.к.}}} = \frac{4 \pi x^2}{\frac{3}{2} \pi x^2} = \frac{8}{3} \).

Ответ:
Отношение боковой поверхности цилиндра к боковой поверхности конуса равно \( \frac{8}{3} \).

Обозначим радиус основания цилиндра за \( x \). Поскольку основание цилиндра — это круг, вписанный в квадрат \( ABCD \), длина стороны квадрата будет равна диаметру этого круга, то есть \( AB = AD = 2x \). Это важно, так как квадрат задаёт ограничение для основания цилиндра, и знание стороны квадрата позволяет выразить все остальные параметры через \( x \).

Далее найдём радиус вписанного шара, который равен расстоянию от центра квадрата \( O \) до середины стороны квадрата. Поскольку сторона квадрата равна \( 2x \), радиус вписанного шара будет равен половине стороны квадрата, то есть \( OF = x \). Это ключевой шаг, так как радиус вписанного шара связан с размерами треугольника \( EFG \), вписанного в окружность с центром \( O \).

Используя теорему о радиусе описанной окружности треугольника \( EFG \), находим сторону \( EF \). Радиус описанной окружности равен \( OF = x \), и по формуле для равностороннего треугольника сторона равна \( EF = \sqrt{3} x \). Отсюда радиус основания конуса, который равен половине стороны треугольника, будет равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} x \).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \( S_{\text{бок.ц.}} = 2 \pi r h \), где \( r = x \) — радиус основания, а высота \( h = 2x \) (равна стороне квадрата). Подставляем значения и получаем \( S_{\text{бок.ц.}} = 2 \pi x \cdot 2x = 4 \pi x^2 \).

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \( S_{\text{бок.к.}} = \pi r l \), где \( r = \frac{\sqrt{3}}{2} x \) — радиус основания конуса, а \( l = EF = \sqrt{3} x \) — длина образующей. Подставляя значения, получаем \( S_{\text{бок.к.}} = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} x \cdot \sqrt{3} x = \frac{3}{2} \pi x^2 \).

Найдём отношение боковых поверхностей цилиндра и конуса:
\( \frac{S_{\text{бок.ц.}}}{S_{\text{бок.к.}}} = \frac{4 \pi x^2}{\frac{3}{2} \pi x^2} = \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \).

Ответ: отношение боковой поверхности цилиндра к боковой поверхности конуса равно \( \frac{8}{3} \).