ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.70 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен \(\alpha\), высота конуса равна \(H\). Найдите радиус сферы, описанной около данного конуса.

Рассмотрим треугольник \( ABH \) с углом \( \alpha = \angle BAH \). По определению тангенса \( \tan \alpha = \frac{BH}{AH} \), значит \( AH = \frac{H}{\tan \alpha} \).

Отрезок \( OH = BH — OB = H — x \), где \( x = OA = OB \) — радиус окружности. В прямоугольном треугольнике \( AOH \) по теореме Пифагора: \( x^2 = AH^2 + OH^2 = \left(\frac{H}{\tan \alpha}\right)^2 + (H — x)^2 \).

Раскрываем и упрощаем: \( x^2 = \frac{H^2}{\tan^2 \alpha} + H^2 — 2Hx + x^2 \). Сокращая \( x^2 \), получаем \( 2Hx = \frac{H^2}{\tan^2 \alpha} + H^2 = \frac{H^2 (1 + \tan^2 \alpha)}{\tan^2 \alpha} \).

Используя тождество \( 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \) и выражение \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), получаем \( 2Hx = \frac{H^2}{\sin^2 \alpha} \), откуда \( x = \frac{H}{2 \sin^2 \alpha} \).

Ответ: радиус равен \( \frac{H}{2 \sin^2 \alpha} \).

1. Рассмотрим треугольник \( ABC \), описанный около окружности с центром \( O \) и радиусом \( x \). По условию, \( x = OA = OB \), так как \( O \) — центр окружности, а \( A \) и \( B \) — точки на окружности. Высота \( BH \) проведена из вершины \( B \) на основание \( AC \), причем \( H \) — точка пересечения высоты с основанием. Для нахождения радиуса \( x \) воспользуемся прямоугольным треугольником \( ABH \), в котором известен угол \( \alpha = \angle BAH \).

2. Из определения тангенса угла \( \alpha \) в треугольнике \( ABH \) следует, что \( \tan \alpha = \frac{противолежащий\ катет}{прилежащий\ катет} = \frac{BH}{AH} \). Отсюда можно выразить \( AH \) как \( AH = \frac{BH}{\tan \alpha} \). Поскольку \( BH = H \), то \( AH = \frac{H}{\tan \alpha} \). Это позволяет выразить один из катетов через высоту \( H \) и угол \( \alpha \).

3. Теперь рассмотрим отрезок \( OH \). Он равен разности \( BH — OB \), то есть \( OH = H — x \). В треугольнике \( AOH \) по теореме Пифагора справедливо равенство \( OA^2 = AH^2 + OH^2 \). Подставляя известные выражения, получаем уравнение \( x^2 = \left(\frac{H}{\tan \alpha}\right)^2 + (H — x)^2 \).

4. Раскроем скобки и упростим выражение: \( x^2 = \frac{H^2}{\tan^2 \alpha} + H^2 — 2Hx + x^2 \). Сократим \( x^2 \) по обеим частям уравнения, что дает \( 0 = \frac{H^2}{\tan^2 \alpha} + H^2 — 2Hx \), откуда \( 2Hx = \frac{H^2}{\tan^2 \alpha} + H^2 \).

5. Преобразуем правую часть: \( \frac{H^2}{\tan^2 \alpha} + H^2 = \frac{H^2 + H^2 \tan^2 \alpha}{\tan^2 \alpha} = \frac{H^2 (1 + \tan^2 \alpha)}{\tan^2 \alpha} \). Используя тригонометрическое тождество \( 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \), получаем \( 2Hx = \frac{H^2}{\tan^2 \alpha \cos^2 \alpha} \). Поскольку \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), то \( \tan^2 \alpha \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \). Значит, \( 2Hx = \frac{H^2}{\sin^2 \alpha} \).

6. Отсюда выражаем \( x \): \( x = \frac{H^2}{2H \sin^2 \alpha} = \frac{H}{2 \sin^2 \alpha} \). Таким образом, радиус сферы равен \( \frac{H}{2 \sin^2 \alpha} \).