ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.71 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус основания конуса равен 3 см, а радиус шара, вписанного в данный конус, — \(\sqrt{3}\) см. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

Рассмотрим треугольник \(AOH\), где \(O\) — центр вписанной окружности, а \(H\) — основание перпендикуляра из \(O\) на сторону \(AC\). Из условия известно, что \(OH = \sqrt{3}\) и \(AH = 3\). Тогда тангенс угла \(\angle OAH\) равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
\(\tan \angle OAH = \frac{OH}{AH} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Из таблицы значений следует, что угол с таким тангенсом равен \(30^\circ\), то есть \(\angle OAH = 30^\circ\).

Поскольку \(OA\) — биссектриса угла \(\angle BAH\) в треугольнике \(ABC\), угол \(\angle BAH\) равен удвоенному углу \(\angle OAH\):
\(\angle BAH = 2 \cdot \angle OAH = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\).

Треугольник \(ABC\) равнобедренный, следовательно, углы при основании равны. Угол \(\angle ABC\) равен углу \(\angle BAH\), то есть \(60^\circ\). Таким образом, угол при вершине осевого сечения конуса равен \(60^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(AOH\), в котором точка \(O\) является центром вписанной окружности треугольника \(ABC\), а точка \(H\) — основанием перпендикуляра, опущенного из \(O\) на сторону \(AC\). Из условия задачи известно, что длина отрезка \(OH\) равна \(\sqrt{3}\), а длина отрезка \(AH\) равна 3. В этом прямоугольном треугольнике угол \(\angle OAH\) можно найти, вычислив тангенс этого угла, так как тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Следовательно,
\(\tan \angle OAH = \frac{OH}{AH} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Зная значение тангенса, определяем величину угла \(\angle OAH\). Из таблицы значений тригонометрических функций или используя обратную функцию тангенса, получаем, что угол, тангенс которого равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), равен \(30^\circ\). Таким образом, мы установили, что \(\angle OAH = 30^\circ\).

Теперь обратимся к свойствам биссектрисы, проходящей через точку \(O\). Поскольку \(O\) — центр вписанной окружности, луч \(OA\) является биссектрисой угла \(\angle BAH\) в треугольнике \(ABC\). Известно, что биссектриса делит угол на два равных угла, поэтому угол \(\angle BAH\) равен удвоенному углу \(\angle OAH\). Запишем это соотношение:
\(\angle BAH = 2 \cdot \angle OAH\).
Подставляя найденное значение угла \(\angle OAH = 30^\circ\), получаем
\(\angle BAH = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\).
Это важный шаг, поскольку угол \(\angle BAH\) связан с углом между образующими конуса, который нам необходимо найти.

Далее рассмотрим треугольник \(ABC\), который является равнобедренным, так как стороны \(AB\) и \(AC\) — образующие конуса и равны между собой. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому углы \(\angle ABC\) и \(\angle ACB\) равны. Из предыдущих вычислений известно, что угол \(\angle BAH\), который равен \(60^\circ\), связан с углом при вершине осевого сечения конуса. Поскольку осевое сечение проходит через вершину \(A\) и основание \(BC\), угол при вершине этого сечения совпадает с углом между образующими конуса. Следовательно, угол при вершине осевого сечения конуса равен \(60^\circ\). Таким образом, ответ на задачу: угол между образующими конуса, а значит и угол при вершине осевого сечения, равен \(60^\circ\).