ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.72 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Образующая конуса равна 20 см, а площадь его боковой поверхности — \(240\pi\) см\(^2\). Найдите радиус сферы, вписанной в данный конус.

Пусть треугольник \( ABC \), центр вписанной окружности \( O \), высота \( BH \), радиус вписанной окружности \( OH \).

Радиус основания конуса:
\( 240\pi = \pi \cdot r \cdot 20 \)
\( r = \frac{240\pi}{20\pi} = 12 \text{ см} \).

Сторона \( AC \):
\( AC = 2r = 2 \cdot 12 = 24 \text{ см} \).

Высота \( BH \) из треугольника \( ABH \) по теореме Пифагора:
\( BH = \sqrt{AB^2 — AH^2} = \sqrt{20^2 — 12^2} = \sqrt{400 — 144} = \sqrt{256} = 16 \text{ см} \).

Площадь треугольника \( ABC \) через основание и высоту:
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 192 \text{ см}^2 \).

Площадь треугольника \( ABC \) через полупериметр и радиус вписанной окружности:
\( S_{ABC} = \frac{AB + BC + AC}{2} \cdot OH = \frac{20 + 20 + 24}{2} \cdot OH = 32 \cdot OH \).

Радиус вписанной окружности \( OH \):
\( 192 = 32 \cdot OH \)
\( OH = \frac{192}{32} = 6 \text{ см} \).

Ответ: радиус вписанной сферы равен 6 см.

Пусть треугольник \( ABC \) является осевым сечением конуса, \( O \) — центр вписанной окружности, \( BH \) — высота треугольника, опущенная из вершины \( B \) на сторону \( AC \), а \( OH \) — радиус вписанной окружности. Для начала вспомним формулу площади боковой поверхности конуса, которая равна \( S_{\text{бок}} = \pi r l \), где \( r \) — радиус основания конуса, а \( l \) — длина образующей конуса.

Используя данную формулу и известное значение площади боковой поверхности конуса \( 240\pi \), подставляем \( l = 20 \) и решаем уравнение для радиуса основания:
\( 240\pi = \pi \cdot r \cdot 20 \).
Сокращая на \( \pi \), получаем:
\( 240 = 20r \), откуда
\( r = \frac{240}{20} = 12 \text{ см} \).

Далее, сторона \( AC \) треугольника равна диаметру основания конуса, то есть
\( AC = 2r = 2 \cdot 12 = 24 \text{ см} \).
Теперь, чтобы найти высоту \( BH \), применяем теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику \( ABH \), где гипотенуза — сторона \( AB = 20 \text{ см} \), а один катет — \( AH = 12 \text{ см} \):
\( BH = \sqrt{AB^2 — AH^2} = \sqrt{20^2 — 12^2} = \sqrt{400 — 144} = \sqrt{256} = 16 \text{ см} \).

Чтобы найти площадь треугольника \( ABC \), используем формулу через основание и высоту:
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 192 \text{ см}^2 \).

Площадь треугольника можно также выразить через полупериметр и радиус вписанной окружности:
\( S_{ABC} = p \cdot OH \), где
\( p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{20 + 20 + 24}{2} = 32 \text{ см} \).
Подставляя значения, получаем:
\( 192 = 32 \cdot OH \), откуда
\( OH = \frac{192}{32} = 6 \text{ см} \).

Таким образом, радиус вписанной окружности треугольника \( ABC \), который совпадает с радиусом вписанной сферы конуса, равен 6 см.