ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.73 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, образующая которого равна 13 см, если известно, что в него можно вписать шар.

Пусть трапеция \(ABCD\) с вписанной окружностью и центр окружности \(O\).

Так как в трапецию можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны:
\(AD + BC = AB + CD = 13 + 13 = 26\) см.

Сумма радиусов оснований равна половине суммы оснований:
\(r + r_1 = \frac{26}{2} = 13\) см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле
\(S_{\text{бок}} = \pi (r + r_1) l\),
где \(l = 13\) см — длина образующей.

Тогда
\(S_{\text{бок}} = \pi \cdot 13 \cdot 13 = 169 \pi\) см².

Ответ:
\(S_{\text{бок}} = 169 \pi\) см².

1. Рассмотрим трапецию \(ABCD\), в которую вписана окружность с центром \(O\). Вписанная окружность касается всех четырёх сторон трапеции, что накладывает важное условие на длины её сторон. Известно, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Это значит, что \(AD + BC = AB + CD\). В нашем случае, по условию, \(AB = CD = 13\) см, поэтому сумма противоположных сторон равна \(13 + 13 = 26\) см.

2. Поскольку \(AD + BC = 26\) см, а трапеция является осевым сечением усечённого конуса, длины оснований трапеции соответствуют диаметрам оснований конуса. Радиусы оснований обозначим как \(r\) и \(r_1\). Тогда сумма радиусов равна половине суммы оснований, то есть \(r + r_1 = \frac{AD + BC}{2} = \frac{26}{2} = 13\) см. Это важный шаг, так как для вычисления площади боковой поверхности усечённого конуса нам нужна именно сумма радиусов.

3. Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = \pi (r + r_1) l\), где \(l\) — длина образующей конуса. В условии задачи длина образующей равна 13 см. Подставляя значения, получаем \(S_{\text{бок}} = \pi \cdot 13 \cdot 13 = 169 \pi\) см^{2}. Таким образом, площадь боковой поверхности усечённого конуса равна \(169 \pi\) квадратных сантиметров.