ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.74 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 8 см и образует с плоскостью боковой грани угол \(30^\circ\). Найдите объём прямоугольного параллелепипеда.

Найдём сторону \(A_1D_1\) из треугольника \(BA_1D_1\), используя свойство прямоугольного треугольника. Так как \(\angle A_1BD_1 = 30^\circ\), то \(A_1D_1 = \frac{1}{2} BD_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\) см.

Из треугольника \(BA_1D_1\) найдём \(A_1B\) по теореме Пифагора: \(A_1B = \sqrt{BD_1^2 — A_1D_1^2} = \sqrt{8^2 — 4^2} = \sqrt{64 — 16} = 4\sqrt{3}\) см.

Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника \(AA_1B\), чтобы найти \(AA_1\): \(AA_1 = \sqrt{A_1B^2 — AB^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 — 4^2} = \sqrt{48 — 16} = 4\sqrt{2}\) см.

Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту: \(V = S \cdot h\).

Найдём объём прямоугольного параллелепипеда: \(V = AB^2 \cdot AA_1 = 4^2 \cdot 4\sqrt{2} = 64\sqrt{2}\) см³.

Ответ: объём прямоугольного параллелепипеда равен \(64\sqrt{2}\) см³.

Найдём сторону \(A_1D_1\) в треугольнике \(BA_1D_1\). Этот треугольник прямоугольный, так как \(BD_1\) — диагональ основания, а \(A_1D_1\) — проекция диагонали \(BD_1\) на боковую грань. Из условия известно, что угол \(\angle A_1BD_1 = 30^\circ\). По свойству прямоугольного треугольника катет, прилежащий к углу 30°, равен половине гипотенузы. Значит, \(A_1D_1 = \frac{1}{2} BD_1\). Длина диагонали основания \(BD_1\) равна 8 см, следовательно, \(A_1D_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\) см.

Далее найдём сторону \(A_1B\) в том же треугольнике \(BA_1D_1\), используя теорему Пифагора. По теореме, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: \(BD_1^2 = A_1D_1^2 + A_1B^2\). Отсюда \(A_1B = \sqrt{BD_1^2 — A_1D_1^2} = \sqrt{8^2 — 4^2} = \sqrt{64 — 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) см. Это расстояние показывает длину от точки \(A_1\) до точки \(B\).

Теперь найдём высоту \(AA_1\) параллелепипеда, используя треугольник \(AA_1B\). В этом треугольнике \(AA_1\) — высота, \(A_1B\) — гипотенуза, а \(AB\) — основание. Применяя теорему Пифагора, получаем: \(AA_1 = \sqrt{A_1B^2 — AB^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 — 4^2} = \sqrt{48 — 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) см. Это искомая высота прямоугольного параллелепипеда.

Объём прямой призмы вычисляется как произведение площади основания на высоту. Площадь основания — квадрат стороны \(AB\), так как основание — квадрат со стороной 4 см. Значит, площадь основания равна \(AB^2 = 4^2 = 16\) см². Высота призмы — \(AA_1 = 4\sqrt{2}\) см. Тогда объём равен \(V = AB^2 \cdot AA_1 = 16 \cdot 4\sqrt{2} = 64\sqrt{2}\) см³.

Ответ: объём прямоугольного параллелепипеда равен \(64\sqrt{2}\) см³.