ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.75 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона \(AD\) основания прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) равна \(a\) и образует с диагональю основания угол \(\alpha\). Плоскость, проходящая через прямые \(AD\) и \(B_1 C_1\), образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите объём прямоугольного параллелепипеда.

Рассмотрим треугольник \(ABD\). По определению тангенса:
\(\tan \alpha = \frac{AB}{AD}\), значит \(AB = a \cdot \tan \alpha\).

В треугольнике \(DCC_1\) по тангенсу:
\(\tan \beta = \frac{CC_1}{CD}\), при этом \(CD = AB\), следовательно
\(CC_1 = AB \cdot \tan \beta = a \cdot \tan \alpha \cdot \tan \beta\).

Объём параллелепипеда равен произведению основания на высоту:
\(V = AB \cdot AD \cdot CC_1 = a \cdot (a \cdot \tan \alpha) \cdot (a \cdot \tan \alpha \cdot \tan \beta) = a^3 \tan^2 \alpha \tan \beta\).

1. Рассмотрим треугольник \(ABD\). В этом треугольнике нам нужно найти длину отрезка \(AB\). Известно, что угол \(\angle BDA\) и длина отрезка \(AD\) равна \(a\), так как это ребро основания куба или параллелепипеда. По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике имеем:
\(\tan \angle BDA = \frac{AB}{AD}\).
Отсюда выражаем \(AB\):
\(AB = AD \cdot \tan \angle BDA = a \cdot \tan \alpha\),
где \(\alpha = \angle BDA\). Таким образом, мы нашли длину \(AB\) через известную длину ребра \(a\) и угол \(\alpha\).

2. Теперь рассмотрим треугольник \(DCC_1\), где нам нужно найти высоту \(CC_1\). Из рисунка видно, что угол \(\angle C_1DC = \beta\), а длина \(CD\) равна \(AB\) (так как \(CD\) и \(AB\) — стороны основания). По определению тангенса:
\(\tan \angle C_1DC = \frac{CC_1}{CD}\).
Выражаем \(CC_1\):
\(CC_1 = CD \cdot \tan \angle C_1DC = AB \cdot \tan \beta\).
Подставляя значение \(AB = a \cdot \tan \alpha\), получаем:
\(CC_1 = a \cdot \tan \alpha \cdot \tan \beta\).

3. Объём прямой призмы равен произведению площади её основания на высоту. В нашем случае основание — прямоугольник со сторонами \(AB\) и \(AD\), а высота — \(CC_1\). Площадь основания:
\(S = AB \cdot AD\).
Объём:
\(V = S \cdot CC_1 = AB \cdot AD \cdot CC_1\).
Подставим найденные значения:
\(V = (a \cdot \tan \alpha) \cdot a \cdot (a \cdot \tan \alpha \cdot \tan \beta) = a^3 \cdot \tan^2 \alpha \cdot \tan \beta\).

Таким образом, объём прямоугольного параллелепипеда выражается через длину ребра \(a\) и углы \(\alpha\) и \(\beta\) как
\(V = a^3 \tan^2 \alpha \tan \beta\).