ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.76 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите объём куба, диагональ которого равна \(d\).

Квадрат диагонали куба равен сумме квадратов трёх его сторон: \( d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2 \).

Выразим сторону куба через диагональ: \( a = \frac{\sqrt{3}d}{3} \).

Объём куба равен \( V = a^3 \).

Подставим выражение для \( a \) в формулу объёма:
\( V = \left(\frac{\sqrt{3}d}{3}\right)^3 = \frac{\sqrt{3}d^3}{9} \).

1. Рассмотрим куб, у которого все ребра равны длине \( a \). Диагональ куба — это отрезок, соединяющий противоположные вершины. Поскольку куб является частным случаем прямоугольного параллелепипеда с равными сторонами, квадрат диагонали можно найти как сумму квадратов трёх измерений. Таким образом, для диагонали \( d \) справедливо равенство \( d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2 \). Это следует из теоремы Пифагора, применённой к трём взаимно перпендикулярным ребрам куба.

2. Выразим сторону куба \( a \) через диагональ \( d \). Для этого из уравнения \( d^2 = 3a^2 \) найдём \( a^2 = \frac{d^2}{3} \). Далее возьмём квадратный корень, получив \( a = \frac{\sqrt{3}d}{3} \). Это выражение позволяет определить длину ребра куба, зная длину его диагонали.

3. Объём куба равен кубу длины его ребра, то есть \( V = a^3 \). Подставим выражение для \( a \), найденное ранее, в формулу объёма: \( V = \left(\frac{\sqrt{3}d}{3}\right)^3 \). Раскроем степень: \( V = \frac{(\sqrt{3})^3 d^3}{3^3} = \frac{\sqrt{3}^3 d^3}{27} \). Так как \( (\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3} \), получаем \( V = \frac{3\sqrt{3} d^3}{27} = \frac{\sqrt{3} d^3}{9} \). Таким образом, объём куба через диагональ выражается формулой \( V = \frac{\sqrt{3} d^3}{9} \).