ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.77 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковые грани правильной шестиугольной призмы являются квадратами, а её большая диагональ равна \(d\). Найдите объём призмы.

Примем сторону основания правильной шестиугольной призмы за \( x \).

Так как \( AD \) — наибольшая диагональ основания, то \( AD = 2x \).

Боковые грани — квадраты, значит высота призмы \( AA_1 = x \).

По теореме Пифагора для треугольника \( AA_1D \):

\( d^2 = (2x)^2 + x^2 = 4x^2 + x^2 = 5x^2 \).

Отсюда \( x = \frac{d}{\sqrt{5}} \).

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

\( V = S \cdot h \).

Площадь правильного шестиугольника со стороной \( x \):

\( S = \frac{3\sqrt{3}}{2} x^2 \).

Высота \( h = x \).

Подставляя \( x = \frac{d}{\sqrt{5}} \):

\( V = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{d}{\sqrt{5}}\right)^2 \cdot \frac{d}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{d^2}{5} \cdot \frac{d}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{3} d^3}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{15} d^3}{50} \).

Ответ: объем правильной шестиугольной призмы равен \( \frac{3\sqrt{15} d^3}{50} \).

Примем сторону основания правильной шестиугольной призмы за \( x \), то есть \( AB = BC = CD = ED = EF = FA = x \). Это стандартное обозначение, так как все стороны правильного шестиугольника равны. Далее рассмотрим диагональ \( AD \), которая является наибольшей диагональю в основании. По свойствам правильного шестиугольника длина этой диагонали в два раза больше длины стороны, следовательно, \( AD = 2x \).

Поскольку боковые грани призмы — квадраты, высота призмы равна стороне основания, то есть \( AA_1 = AB = x \). Теперь рассмотрим треугольник \( AA_1D \), в котором гипотенуза — диагональ призмы \( d = A_1D \), одна катет — диагональ основания \( AD = 2x \), а другой катет — высота \( AA_1 = x \). Применяя теорему Пифагора, получаем уравнение \( d^2 = (2x)^2 + x^2 = 4x^2 + x^2 = 5x^2 \). Отсюда выражаем сторону основания \( x \) через диагональ призмы \( d \): \( x = \frac{d}{\sqrt{5}} \). Выбираем положительное значение, так как длина не может быть отрицательной.

Для нахождения объема призмы используем формулу объема прямой призмы \( V = S \cdot h \), где \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота. Площадь правильного шестиугольника со стороной \( x \) равна \( S = \frac{3\sqrt{3}}{2} x^2 \). Высота призмы равна \( h = x \). Подставляя выражение для \( x \) через \( d \), получаем:

\( V = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{d}{\sqrt{5}}\right)^2 \cdot \frac{d}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{d^2}{5} \cdot \frac{d}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{3} d^3}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{15} d^3}{50} \).

Таким образом, объем правильной шестиугольной призмы выражается формулой \( V = \frac{3\sqrt{15} d^3}{50} \).