ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.78 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дана прямая призма \(ABCA_1 B_1 C_1\). Известно, что \(\angle ACB = 90^\circ\), \(AC = 4\) см, угол между плоскостями \(ABC\) и \(AB_1 C\) равен \(45^\circ\), а расстояние от вершины \(B\) до плоскости \(AB C\) — \(\frac{3}{2}\) см. Найдите объём призмы.

Воспользуемся свойством высоты, проведённой из вершины прямого угла равнобедренного треугольника, чтобы найти \( CB_1 \):

\( CB_1 = 2BH = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) см.

Обозначим за неизвестную катеты треугольника \( CBB_1 \):

Пусть \( x = CB = BB_1 \).

По теореме Пифагора для треугольника \( CBB_1 \):

\( CB_1^2 = CB^2 + BB_1^2 \),

\( (6\sqrt{2})^2 = x^2 + x^2 \),

\( 36 \cdot 2 = 2x^2 \),

\( x^2 = 36 \),

\( x = 6 \) (берём положительное значение).

Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:

\( V = S \cdot h \).

Площадь основания равна площади треугольника с катетами \( AC = 4 \) и \( CB = 6 \):

\( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12 \).

Высота призмы \( BB_1 = 6 \).

Тогда объём:

\( V = S \cdot h = 12 \cdot 6 = 72 \) см³.

Ответ: объём призмы равен \( 72 \) см³.

Воспользуемся свойством высоты, проведённой из вершины прямого угла равнобедренного треугольника. Пусть \( BH \) — высота, проведённая из вершины прямого угла, тогда отрезок \( CB_1 \) равен удвоенной длине \( BH \). Из условия известно, что \( BH = 3\sqrt{2} \), следовательно, \( CB_1 = 2 \cdot BH = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) см. Это важно, так как \( CB_1 \) будет гипотенузой в треугольнике \( CBB_1 \), где \( CB \) и \( BB_1 \) — катеты.

Обозначим за неизвестную длину катетов треугольника \( CBB_1 \) через \( x \), то есть \( x = CB = BB_1 \). Треугольник \( CBB_1 \) является прямоугольным, поэтому применим теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Запишем это уравнение: \( CB_1^2 = CB^2 + BB_1^2 \), то есть \( (6\sqrt{2})^2 = x^2 + x^2 \). Вычислим левую часть: \( 6^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72 \). Таким образом, уравнение становится \( 72 = 2x^2 \).

Решим уравнение относительно \( x \). Разделим обе части на 2: \( x^2 = \frac{72}{2} = 36 \). Извлечём корень: \( x = 6 \). Выбираем положительное значение, так как длина не может быть отрицательной. Таким образом, катеты треугольника \( CBB_1 \) равны 6 см.

Для нахождения объёма призмы вспомним, что объём равен произведению площади основания на высоту: \( V = S \cdot h \). В нашем случае основание — это треугольник с катетами \( AC = 4 \) см и \( CB = 6 \) см. Площадь треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12 \) см². Высота призмы равна \( BB_1 = 6 \) см. Подставим значения в формулу объёма: \( V = 12 \cdot 6 = 72 \) см³.

Ответ: объём призмы равен \( 72 \) см³.