ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.79 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота прямой четырёхугольной призмы равна \(h\). Диагонали призмы образуют с плоскостью основания углы \(\alpha\) и \(\beta\), а угол между диагоналями основания равен \(\gamma\). Найдите объём призмы.

В треугольнике \( CAC_1 \) по определению котангенса имеем \( \mathrm{ctg} \alpha = \frac{AC}{CC_1} \), откуда \( AC = h \cdot \mathrm{ctg} \alpha \).

В треугольнике \( BDB_1 \) по определению котангенса \( \mathrm{ctg} \beta = \frac{BD}{BB_1} \), значит \( BD = h \cdot \mathrm{ctg} \beta \).

Площадь основания равна \( S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} AC \cdot BD \cdot \sin \gamma = \frac{1}{2} h^2 \mathrm{ctg} \alpha \mathrm{ctg} \beta \sin \gamma \).

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: \( V = S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{2} h^3 \sin \gamma \mathrm{ctg} \alpha \mathrm{ctg} \beta \).

С помощью определения котангенса в треугольнике \( CAC_1 \) можно выразить длину отрезка \( AC \). Котангенс угла \( \angle C_1AC \) равен отношению прилежащего катета \( AC \) к противолежащему катету \( CC_1 \), то есть \(\mathrm{ctg} \angle C_1AC = \frac{AC}{CC_1}\). Из этого выражения следует, что \( AC = CC_1 \mathrm{ctg} \angle C_1AC \). Поскольку \( CC_1 = h \) — высота призмы, а угол \( \angle C_1AC = \alpha \), получаем \( AC = h \mathrm{ctg} \alpha \). Таким образом, длина диагонали \( AC \) связана с высотой призмы и углом при основании через котангенс.

Аналогично, для второго треугольника \( BDB_1 \) используем определение котангенса угла \( \angle B_1DB \). Котангенс этого угла равен отношению \( BD \) к \( BB_1 \), то есть \(\mathrm{ctg} \angle B_1DB = \frac{BD}{BB_1}\). Отсюда \( BD = BB_1 \mathrm{ctg} \angle B_1DB \). Подставляя \( BB_1 = h \) и угол \( \angle B_1DB = \beta \), получаем \( BD = h \mathrm{ctg} \beta \). Таким образом, вторая диагональ основания также выражается через высоту призмы и котангенс соответствующего угла.

Площадь основания призмы можно найти через диагонали \( AC \) и \( BD \) и угол между ними \( \gamma \). Формула площади параллелограмма, образованного диагоналями, даёт \( S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} AC \cdot BD \cdot \sin \gamma \). Подставляя найденные значения \( AC = h \mathrm{ctg} \alpha \) и \( BD = h \mathrm{ctg} \beta \), получаем \( S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} h \mathrm{ctg} \alpha \cdot h \mathrm{ctg} \beta \cdot \sin \gamma = \frac{1}{2} h^2 \mathrm{ctg} \alpha \mathrm{ctg} \beta \sin \gamma \). Объём призмы равен произведению площади основания на высоту \( h \), то есть \( V = S_{\text{осн}} \cdot h \). Подставляя выражение для площади основания, получаем окончательную формулу объёма: \( V = \frac{1}{2} h^2 \mathrm{ctg} \alpha \mathrm{ctg} \beta \sin \gamma \cdot h = \frac{1}{2} h^3 \sin \gamma \mathrm{ctg} \alpha \mathrm{ctg} \beta \).