ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.80 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковое ребро наклонной треугольной призмы равно 10 см. Две боковые грани призмы перпендикулярны, а их площади равны 50 см\(^2\) и 120 см\(^2\). Найдите объём призмы.

Дано: \(AD = 10\) см, \(S_{ABED} = 120\) см², \(S_{ACFD} = 50\) см².

Найдём \(AB\):

Площадь параллелограмма \(ABED = AB \cdot AD\), значит

\(AB = \frac{S_{ABED}}{AD} = \frac{120}{10} = 12\) см.

Найдём \(AC\):

Площадь параллелограмма \(ACFD = AC \cdot AD\), значит

\(AC = \frac{S_{ACFD}}{AD} = \frac{50}{10} = 5\) см.

Объём призмы вычисляем по формуле \(V = S \cdot h\), где основание — параллелограмм с площадью \(S = \frac{1}{2} AC \cdot AB\), а высота \(h = AD\).

Тогда объём

\(V = AD \cdot \frac{1}{2} AC \cdot AB = 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 300\) см³.

Ответ: \(300\) см³.

1. В условии задачи дано, что длина ребра \(AD\) равна 10 см, а также известны площади двух параллелограммов: \(S_{ABED} = 120\) см² и \(S_{ACFD} = 50\) см². Эти параллелограммы лежат в перпендикулярных плоскостях, что позволяет использовать их площади для нахождения длин ребер \(AB\) и \(AC\). Поскольку \(AD\) является общей высотой для обоих параллелограммов, площадь каждого из них равна произведению основания на высоту \(AD\).

2. Для нахождения длины \(AB\) используем формулу площади параллелограмма: \(S_{ABED} = AB \cdot AD\). Подставляя известные значения, получаем \(120 = AB \cdot 10\). Отсюда следует, что \(AB = \frac{120}{10} = 12\) см. Аналогично, для нахождения длины \(AC\) используем площадь второго параллелограмма: \(S_{ACFD} = AC \cdot AD\). Подставляя значения, имеем \(50 = AC \cdot 10\), откуда \(AC = \frac{50}{10} = 5\) см.

3. Объём призмы вычисляется по формуле \(V = S \cdot h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота призмы. В данной задаче высотой является ребро \(AD = 10\) см. Основанием призмы служит параллелограмм, площадь которого равна произведению половины диагоналей \(AC\) и \(AB\), так как основание — параллелограмм с диагоналями, пересекающимися под прямым углом. Площадь основания равна \(S = \frac{1}{2} AC \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\) см². Подставляя в формулу объёма, получаем \(V = 30 \cdot 10 = 300\) см³.

Ответ: \(300\) см³.