ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.82 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Ребро куба \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) равно \(a\). Точки \(E, F, M\) и \(K\) — середины рёбер \(AB, BC, CD\) и \(AD\) соответственно. Найдите объём пирамиды \(B_1 E F M K\).

Рассмотрим треугольник \( \triangle KDM \). Он равнобедренный и прямоугольный, так как \( ABCD \) — квадрат, а точки \( M, K \) — середины рёбер \( CD, AD \). По теореме Пифагора:

\[
MK = \sqrt{KD^2 + MD^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{2 \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}a}{2}.
\]

Поскольку \( ABCD \) — квадрат, а \( E, F, M, K \) — середины рёбер \( AB, BC, CD, AD \), то \( EFMK \) также является квадратом, и

\[
EF = FM = MK = EK = \frac{\sqrt{2}a}{2}.
\]

Площадь основания пирамиды:

\[
S_{EFMK} = \left(\frac{\sqrt{2}a}{2}\right)^2 = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}.
\]

Объём пирамиды с высотой \( h \) и площадью основания \( S \) вычисляют по формуле:

\[
V = \frac{1}{3} S h.
\]

Высота пирамиды равна \( BB_1 = a \). Тогда объём:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot a = \frac{a^3}{6}.
\]

Ответ: \( \frac{a^3}{6} \).

1. Рассмотрим треугольник \( \triangle KDM \). Поскольку \( ABCD \) — квадрат, точки \( M \) и \( K \) являются серединами рёбер \( CD \) и \( AD \) соответственно. Это означает, что отрезки \( KM \) и \( KD \), \( MD \) связаны с длиной стороны квадрата \( a \). Треугольник \( KDM \) равнобедренный и прямоугольный, так как \( KD \) и \( MD \) равны и перпендикулярны друг другу. По теореме Пифагора длину гипотенузы \( MK \) можно найти через катеты:

\[
MK = \sqrt{KD^2 + MD^2}.
\]

Поскольку \( K \) и \( M \) — середины рёбер, длины катетов равны половине стороны квадрата, то есть \( KD = MD = \frac{a}{2} \). Подставляя эти значения, получаем:

\[
MK = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{2 \cdot \left(\frac{a^2}{4}\right)} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{\sqrt{2}a}{2}.
\]

2. Теперь рассмотрим фигуру \( EFMK \). Точки \( E, F, M, K \) — середины рёбер квадрата \( ABCD \), следовательно, \( EFMK \) тоже является квадратом. Это значит, что все его стороны равны, а именно \( EF = FM = MK = EK \). Мы уже нашли длину \( MK \), значит, длина любой стороны квадрата \( EFMK \) равна \( \frac{\sqrt{2}a}{2} \). Площадь квадрата вычисляется по формуле площади квадрата через сторону:

\[
S_{EFMK} = \left(\frac{\sqrt{2}a}{2}\right)^2 = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}.
\]

Таким образом, площадь основания пирамиды равна \( \frac{a^2}{2} \).

3. Для вычисления объёма пирамиды необходимо знать высоту \( h \) и площадь основания \( S \). Формула объёма пирамиды с основанием площадью \( S \) и высотой \( h \) выглядит так:

\[
V = \frac{1}{3} S h.
\]

В данном случае высота пирамиды равна длине ребра квадрата \( a \), то есть \( h = a \). Подставляя значения площади основания и высоты, получаем:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^3}{2} = \frac{a^3}{6}.
\]

Итоговый объём пирамиды равен \( \frac{a^3}{6} \).