ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.83 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной пирамиды равна \(S\), а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен \(45^\circ\). Найдите объём пирамиды.

Пусть \(AB = BC = CD = AD = a\), тогда диагональ квадрата \(AC = a\sqrt{2}\).

В треугольнике \(SHC\) прямоугольный, высота \(SH = CH \cdot \tan \angle SCH = \frac{1}{2} a \sqrt{2} \cdot \tan 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} a\).

Площадь диагонального сечения \(S = \frac{1}{2} \cdot SH \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} a \cdot a \sqrt{2} = \frac{a^2}{2}\), откуда \(a = \sqrt{2S}\).

Высота пирамиды \(SH = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2S} = \sqrt{S}\).

Объём пирамиды с высотой \(h\) и площадью основания \(S\) равен \(V = \frac{1}{3} Sh\).

Подставляем: \(V = \frac{1}{3} \left(\sqrt{2S}\right)^2 \cdot \sqrt{S} = \frac{2S \sqrt{S}}{3}\).

Ответ: \( \frac{2S \sqrt{S}}{3} \).

1. Пусть \(AB = BC = CD = AD = a\), так как \(ABCD\) — квадрат. Тогда длина диагонали квадрата \(AC\) вычисляется по теореме Пифагора: \(AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\). Это важно, потому что диагональное сечение пирамиды связано с этой диагональю.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(SHC\). Здесь \(SH\) — высота пирамиды, а \(\angle SCH = 45^\circ\). По определению тангенса, \(SH = CH \cdot \tan \angle SCH\). Длина \(CH\) равна половине диагонали квадрата, то есть \(CH = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} a \sqrt{2}\). Тогда \(SH = \frac{1}{2} a \sqrt{2} \cdot \tan 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} a\), так как \(\tan 45^\circ = 1\).

3. Площадь диагонального сечения \(S\) равна половине произведения основания и высоты треугольника, то есть \(S = \frac{1}{2} \cdot SH \cdot AC\). Подставляем значения: \(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} a \cdot a \sqrt{2} = \frac{a^2}{2}\). Отсюда выражаем сторону квадрата через площадь сечения: \(a = \sqrt{2S}\).

4. Теперь выразим высоту пирамиды через площадь диагонального сечения. Подставим найденное \(a\) в формулу для \(SH\): \(SH = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2S} = \sqrt{S}\). Таким образом, высота пирамиды равна корню из площади диагонального сечения.

5. Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} Sh\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота. В нашем случае основание — квадрат со стороной \(a\), площадь которого \(S_{осн} = a^2 = 2S\), а высота \(h = SH = \sqrt{S}\). Подставляем: \(V = \frac{1}{3} \cdot (2S) \cdot \sqrt{S} = \frac{2S \sqrt{S}}{3}\).

Ответ: \( \frac{2S \sqrt{S}}{3} \).