ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.84 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Объём правильного тетраэдра равен \(V\). Чему равен объём тетраэдра, вершинами которого являются центры граней данного тетраэдра?

Точки \( L, M, N, K \) — центры граней тетраэдра \( ABCD \). Ребро тетраэдра \( MLKN \) равно \( \frac{a}{3} \), где \( a \) — ребро исходного тетраэдра \( ABCD \).

Объём тетраэдра \( ABCD \) равен \( V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3 \). Объём тетраэдра \( MLKN \) вычисляется по формуле объёма с учётом уменьшенного ребра: \( V_1 = \frac{\sqrt{2}}{12} \left(\frac{a}{3}\right)^3 = \frac{\sqrt{2} a^3}{12 \cdot 27} \).

Подставляя выражение для \( a^3 = \frac{12 V}{\sqrt{2}} \), получаем \( V_1 = \frac{V}{27} \). Таким образом, объём тетраэдра \( MLKN \) составляет \( \frac{1}{27} \) объёма тетраэдра \( ABCD \).

\( DM \) — высота тетраэдра \( ABCD \), а точки \( L, M, N, K \) — центры граней тетраэдра \( ABCD \). Вначале докажем равенства между отрезками, которые являются сторонами треугольников, образованных этими точками. Из равенства углов \( \angle DPM = \angle DQM = \angle DRM \) и равенства соответствующих сторон следует, что треугольники \( \triangle PML \), \( \triangle QMN \) и \( \triangle RMK \) равны. Значит, стороны \( ML \), \( MN \), \( MK \) равны между собой, то есть \( ML = MN = MK \).

Далее рассматриваем треугольники \( \triangle PDQ \), \( \triangle PDR \) и \( \triangle RDQ \). Они равны по третьему признаку равенства треугольников, так как у них равны высоты \( PD = QD = RD \) и средние линии \( PQ = LQ = PL \). Эти равенства основаны на свойстве равных правильных треугольников и средних линий в них. Таким образом, равенство этих треугольников подтверждает равенство соответствующих отрезков, что важно для дальнейших доказательств.

Теперь докажем равенство сторон \( LN = LK = NK \) в треугольнике, образованном центрами граней. Из равенств \( NQ = LP = KR \) и \( PD = QD = RD \) следует, что \( DL = DN = DK \). Это позволяет заключить, что треугольники \( \triangle DLN \), \( \triangle DLK \) и \( \triangle DNK \) равны, а значит, стороны \( LN \), \( LK \), \( NK \) равны. Кроме того, доказывается подобие треугольников \( \triangle AQD \) и \( \triangle MQN \), что приводит к параллельности отрезков \( MN \) и \( AD \).

Для нахождения ребра тетраэдра \( MLKN \) обозначим ребро исходного тетраэдра \( ABCD \) как \( a \). Высота \( AQ \) равна \( \frac{a \sqrt{3}}{2} \), а отрезок \( MQ = \frac{a}{2 \sqrt{3}} \). Используя отношение \( \frac{MN}{AD} = \frac{MQ}{AQ} \), получаем \( MN = a \cdot \frac{\frac{a}{2 \sqrt{3}}}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{3} \). Это важный шаг, так как он показывает, что ребро тетраэдра \( MLKN \) в три раза меньше ребра исходного тетраэдра.

Объём пирамиды с высотой \( h \) и площадью основания \( S \) вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S h \). Для тетраэдра \( ABCD \) объём равен \( V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot a \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3 \). Из этого выражения выразим \( a^3 = \frac{12 V}{\sqrt{2}} \). Для тетраэдра \( MLKN \) объём \( V_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{a}{3}\right)^2 \cdot \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{12} \left(\frac{a}{3}\right)^3 = \frac{\sqrt{2} a^3}{12 \cdot 27} \).

Подставляя выражение для \( a^3 \) в объём \( V_1 \), получаем \( V_1 = \frac{\sqrt{2}}{12 \cdot 27} \cdot \frac{12 V}{\sqrt{2}} = \frac{V}{27} \). Таким образом, объём тетраэдра \( MLKN \) составляет \( \frac{1}{27} \) объёма исходного тетраэдра \( ABCD \).