ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.85 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является треугольник с углами \(\alpha\) и \(\beta\). Радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен \(R\), а каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(\gamma\). Найдите объём пирамиды.

Проведём высоту \( MH \) из вершины пирамиды на основание и построим отрезки \( AH \), \( BH \), \( CH \). Треугольники \( \triangle AHM \), \( \triangle BHM \), \( \triangle CHM \) равны, так как углы при \( H \) равны и у них общая сторона \( MH \).

Отсюда следует, что \( AH = BH = CH = R \).

Высоту \( MH \) найдём через тангенс угла \( \gamma \): \( MH = R \tan \gamma \).

Объём пирамиды равен \( V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \), где площадь основания \( S = 2 R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin (\alpha + \beta) \), а высота \( h = MH = R \tan \gamma \).

Подставляя, получаем \( V = \frac{2}{3} R^3 \sin \alpha \sin \beta \sin (\alpha + \beta) \tan \gamma \).

1. Для начала проведём высоту пирамиды \( MH \). Это перпендикуляр, опущенный из вершины \( M \) на плоскость основания \( ABC \). Далее построим отрезки \( AH \), \( BH \), \( CH \), соединяющие точку \( H \) с вершинами основания. Эти отрезки помогут нам рассмотреть три прямоугольных треугольника \( \triangle AHM \), \( \triangle BHM \), \( \triangle CHM \).

2. Рассмотрим треугольники \( \triangle AHM \), \( \triangle BHM \), \( \triangle CHM \). По построению они прямоугольные, так как \( MH \) — высота, перпендикулярная основанию. Углы при вершинах \( A \), \( B \), \( C \) равны: \( \angle HAM = \angle HBM = \angle HCM = \gamma \) по условию задачи. Общая сторона у всех треугольников — \( MH \). По признаку равенства прямоугольных треугольников (один острый угол и гипотенуза равны) следует, что \( \triangle AHM = \triangle BHM = \triangle CHM \).

3. Из равенства треугольников вытекает равенство соответствующих сторон: \( AH = BH = CH \). Обозначим это общее значение через \( R \). Таким образом, все отрезки, соединяющие точку \( H \) с вершинами основания, равны между собой и равны \( R \).

4. Найдём высоту пирамиды \( MH \). По определению тангенса угла \( \gamma \) в прямоугольном треугольнике, \( \tan \gamma = \frac{MH}{R} \), откуда \( MH = R \tan \gamma \).

5. Для вычисления объёма пирамиды используем формулу объёма \( V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \), где \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота. Площадь треугольника \( ABC \) равна \( 2 R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin (\alpha + \beta) \). Подставляя площадь и высоту, получаем
\( V = \frac{1}{3} \cdot 2 R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin (\alpha + \beta) \cdot R \tan \gamma = \frac{2}{3} R^3 \sin \alpha \sin \beta \sin (\alpha + \beta) \tan \gamma \).

Ответ:
\( \frac{2}{3} R^3 \sin \alpha \sin \beta \sin (\alpha + \beta) \tan \gamma \).