ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.86 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Центр шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, принадлежит плоскости основания пирамиды. Найдите объём пирамиды, если радиус шара равен \(2\sqrt{3}\) см.

Дано: \( SO = OC = R = 2\sqrt{3} \) см.

Поскольку треугольник \( \triangle ABC \) правильный, то \( AB = BC = AC \), и углы равны \( 60^\circ \).

Медиана \( CH \) делит сторону пополам, и \( \frac{CO}{CH} = \frac{2}{3} \), откуда \( CH = \frac{3CO}{2} = \frac{3 \cdot 2\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см.

Длина стороны \( AC = \frac{CH}{\sin 60^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6 \) см.

Площадь треугольника \( ABC \):

\( S = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 6 = 9\sqrt{3} \) см².

Объём пирамиды с высотой \( h \) и площадью основания \( S \):

\( V = \frac{1}{3} S h \).

Подставляем значения:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 18 \) см³.

Ответ: \( 18 \) см³.

1. В задаче дан радиус окружности \( R = SO = OC = 2\sqrt{3} \) см, на которой построена правильная треугольная пирамида. Основание пирамиды — правильный треугольник \( ABC \), у которого все стороны равны, а углы при вершинах равны \( 60^\circ \). Это важно, так как позволяет использовать свойства правильного треугольника для вычисления длины стороны и высоты.

2. Рассмотрим медиану \( CH \) треугольника \( ABC \). Из условия известно, что \( CO \) — отрезок, соединяющий центр основания с точкой \( C \), и \( \frac{CO}{CH} = \frac{2}{3} \). Отсюда находим длину медианы \( CH = \frac{3CO}{2} \). Подставляя \( CO = 2\sqrt{3} \), получаем \( CH = \frac{3 \cdot 2\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см. Далее, используя тригонометрическую функцию синуса угла \( 60^\circ \), вычисляем сторону \( AC \) по формуле \( AC = \frac{CH}{\sin 60^\circ} \). Поскольку \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то \( AC = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6 \) см.

3. Теперь найдем площадь основания \( ABC \). Формула площади треугольника через медиану и сторону: \( S = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB \). Подставляя значения, получаем \( S = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 6 = 9\sqrt{3} \) см². Для нахождения объёма пирамиды используем формулу \( V = \frac{1}{3} S h \), где \( h = SO = 2\sqrt{3} \) — высота пирамиды. Подставляем значения: \( V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 2 \cdot 3 = 18 \) см³. Таким образом, объём пирамиды равен \( 18 \) кубических сантиметров.