ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.87 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 10 см, 17 см и 21 см, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(45^\circ\). Найдите объём пирамиды.

Дано: \(OK \perp AB\), \(OL \perp BC\), \(OM \perp AC\).

Углы при рёбрах основания пирамиды: \(\angle SKO = \angle SLO = \angle SMO = 45^\circ\). По теореме о трёх перпендикулярах получаем \(SK \perp AB\), \(SL \perp BC\), \(SM \perp AC\).

Рассмотрим треугольники \(\triangle SOK\), \(\triangle SOL\), \(\triangle SOM\). Углы \(\angle SOK = \angle SOL = \angle SOM = 90^\circ\), а \(\angle SKO = \angle SLO = \angle SMO = 45^\circ\). Значит \(\angle KSO = \angle LSO = \angle MSO = 45^\circ\).

Следовательно, \(\triangle SOK = \triangle SOL = \triangle SOM\) — прямоугольные равнобедренные. Тогда \(OK = OL = OM = SO = r\), где \(r\) — радиус окружности, вписанной в \(\triangle ABC\).

Найдем площадь \(\triangle ABC\) по формуле Герона:
\(p = \frac{10 + 17 + 21}{2} = 24\) см,
\(S_{ABC} = \sqrt{24(24 — 10)(24 — 17)(24 — 21)} = \sqrt{7056} = 84\) см².

Высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности:
\(SO = r = \frac{S}{p} = \frac{84}{24} = 3{,}5\).

Объем пирамиды с высотой \(h\) и основанием площадью \(S\) вычисляется по формуле:
\(V = \frac{1}{3} \cdot 84 \cdot 3{,}5 = 98\) см³.

Ответ: \(98\) см³.

1. Рассмотрим перпендикулярные отрезки \(OK\), \(OL\), \(OM\), которые опущены из вершины пирамиды на стороны основания \(AB\), \(BC\) и \(AC\) соответственно. Из условия известно, что \(OK \perp AB\), \(OL \perp BC\), \(OM \perp AC\). Эти перпендикуляры связаны с углами между боковыми гранями пирамиды и плоскостью основания. Углы между ребрами основания и соответствующими перпендикулярами равны \(45^\circ\), то есть \(\angle SKO = \angle SLO = \angle SMO = 45^\circ\). Это связано с тем, что данные углы являются линейными углами двугранных углов при рёбрах основания пирамиды.

2. По теореме о трёх перпендикулярах из этих углов следует, что отрезки \(SK\), \(SL\), \(SM\) тоже перпендикулярны сторонам основания: \(SK \perp AB\), \(SL \perp BC\), \(SM \perp AC\). Далее рассмотрим треугольники \(\triangle SOK\), \(\triangle SOL\), \(\triangle SOM\). В каждом из них угол при вершине \(S\) равен \(90^\circ\), то есть \(\angle SOK = \angle SOL = \angle SOM = 90^\circ\). Углы при основаниях этих треугольников равны \(45^\circ\), следовательно, остальные углы равны \(90^\circ — 45^\circ = 45^\circ\). Это означает, что все три треугольника являются прямоугольными и равнобедренными.

3. Из равенства треугольников следует, что длины отрезков \(OK\), \(OL\), \(OM\) равны между собой, а также равны длине отрезка \(SO\), то есть \(OK = OL = OM = SO = r\), где \(r\) — радиус окружности, вписанной в треугольник \(ABC\). Чтобы найти площадь основания пирамиды \(\triangle ABC\), используем формулу Герона. Полупериметр \(p\) равен \(\frac{10 + 17 + 21}{2} = 24\) см. Площадь вычисляется по формуле \(S_{ABC} = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} = \sqrt{24(24 — 10)(24 — 17)(24 — 21)} =\)
\(= \sqrt{7056} = 84\) см².

4. Высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности \(r\), который можно найти как отношение площади основания к полупериметру, то есть \(SO = r = \frac{S}{p} = \frac{84}{24} = 3{,}5\) см. Это значение высоты позволяет определить объём пирамиды, используя формулу объёма \(V = \frac{1}{3} \times S \times h\), где \(h\) — высота, а \(S\) — площадь основания. Подставляя значения, получаем \(V = \frac{1}{3} \times 84 \times 3{,}5 = 98\) см³.

5. Таким образом, объём пирамиды с заданными параметрами равен \(98\) кубических сантиметров. В решении использованы свойства перпендикуляров в пирамиде, теорема о трёх перпендикулярах, свойства равнобедренных прямоугольных треугольников, формула Герона для площади треугольника и классическая формула объёма пирамиды. Все вычисления строго следуют из геометрических и алгебраических соотношений, что подтверждает правильность полученного результата.