ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.89 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды \(DABC\) является треугольник \(ABC\), в котором \(AB = BC\), \(\angle ABC = \alpha\). Грань \(ADC\) перпендикулярна основанию пирамиды, а грани \(ABD\) и \(CBD\) образуют с основанием угол \(\beta\). Расстояние от основания высоты пирамиды до плоскости \(ABD\) равно \(m\). Найдите объём пирамиды.

Дано: \(AB = BC\), \(\angle ABC = \alpha\), плоскости \((ADC) \perp (ABC)\), \(DH \perp (ABC)\), \(H \in (ABC)\), \(DE \perp AB\), \(DF \perp AB\), \(\angle DEH = \angle DFH = \beta\), \(DE \perp HK\), \(K \in DE\), \(HK = m\).

Рассмотрим треугольник \(HKE\):

\(\sin \angle HEK = \frac{HK}{HE} \Rightarrow HE = \frac{HK}{\sin \angle HEK} = \frac{m}{\sin \beta}\),

\(\cot \angle HEK = \frac{KE}{HK} \Rightarrow KE = HK \cot \angle HEK = m \cot \beta\).

Треугольники \(\triangle DHE \sim \triangle HKE\) по двум углам, значит:

\(\frac{DH}{HE} = \frac{HK}{KE} \Rightarrow DH = \frac{HE \cdot HK}{KE} = \frac{m \cdot m}{\sin \beta \cdot m \cot \beta} = \frac{m}{\cos \beta}\).

В треугольнике \(ABC\) равнобедренном, \(BH\) — высота и биссектриса, значит:

\(\angle ABH = \angle CBH = \frac{\alpha}{2}\).

Треугольник \(HEB\) прямоугольный, тогда

\(\sin \angle ABH = \frac{HE}{BH} \Rightarrow BH = \frac{HE}{\sin \angle ABH} = \frac{m / \sin \beta}{\sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{m}{\sin \beta \sin \frac{\alpha}{2}}\).

Треугольник \(ABH\) прямоугольный, тогда

\(AH = BH \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{m}{\sin \beta \sin \frac{\alpha}{2}} \cdot \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{m}{\sin \beta \cos \frac{\alpha}{2}}\).

\(AC = 2 AH = \frac{2 m}{\sin \beta \cos \frac{\alpha}{2}}\).

Объём пирамиды:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH \cdot DH = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2 m}{\sin \beta \cos \frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{m}{\sin \beta \sin \frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{m}{\cos \beta} =
\]

\[
= \frac{m^3}{3 \sin^2 \beta \cos \beta \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{2 m^3}{3 \sin \alpha \sin^2 \beta \cos \beta}.
\]

Ответ: \(V = \frac{2 m^3}{3 \sin \alpha \sin^2 \beta \cos \beta}\).

Дано, что \(AB = BC\) и \(\angle ABC = \alpha\), а также плоскость \((ADC)\) перпендикулярна плоскости \((ABC)\), и высоты \(DH \perp (ABC)\), где \(H \in (ABC)\). Также \(DE \perp AB\), \(DF \perp AB\), и углы \(\angle DEH = \angle DFH = \beta\). Из условия \(DE \perp HK\), \(K \in DE\), и \(HK = m\).

2 шаг. Рассмотрим треугольник \(HKE\). В нем по определению синуса угла \(\angle HEK\) имеем \(\sin \angle HEK = \frac{HK}{HE}\), откуда \(HE = \frac{HK}{\sin \angle HEK} = \frac{m}{\sin \beta}\), так как \(\angle HEK = \beta\). Аналогично, по определению котангенса угла \(\angle HEK\) получаем \(\cot \angle HEK = \frac{KE}{HK}\), значит \(KE = HK \cot \angle HEK = m \cot \beta\).

3 шаг. Найдем длину \(DH\). Треугольники \(\triangle DHE\) и \(\triangle HKE\) подобны по двум углам, поэтому отношения соответствующих сторон равны: \(\frac{DH}{HE} = \frac{HK}{KE}\). Отсюда выражаем \(DH = \frac{HE \cdot HK}{KE} = \frac{\frac{m}{\sin \beta} \cdot m}{m \cot \beta} = \frac{m^2 / \sin \beta}{m \cot \beta} = \frac{m}{\cos \beta}\).

4 шаг. Найдём \(BH\). Поскольку треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), высота \(BH\) одновременно является биссектрисой. Значит углы при вершине \(B\) равны: \(\angle ABH = \angle CBH = \frac{\alpha}{2}\). В прямоугольном треугольнике \(HEB\) по определению синуса угла \(\angle ABH\) имеем \(\sin \angle ABH = \frac{HE}{BH}\), откуда \(BH = \frac{HE}{\sin \angle ABH} = \frac{\frac{m}{\sin \beta}}{\sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{m}{\sin \beta \sin \frac{\alpha}{2}}\).

5 шаг. Найдём \(AC\). Треугольник \(ABH\) прямоугольный, тогда \(AH = BH \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{m}{\sin \beta \sin \frac{\alpha}{2}} \cdot \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{m}{\sin \beta \cos \frac{\alpha}{2}}\). Поскольку \(AC = 2 AH\), получаем \(AC = \frac{2 m}{\sin \beta \cos \frac{\alpha}{2}}\).

6 шаг. Вычислим объём пирамиды. Формула объёма \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h\), где основание — треугольник \(ABC\) с площадью \(\frac{1}{2} AC \cdot BH\), а высота — \(DH\). Подставляем:

\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH \cdot DH = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2 m}{\sin \beta \cos \frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{m}{\sin \beta \sin \frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{m}{\cos \beta}\).

Упрощаем выражение:

\(V = \frac{m^3}{3 \sin^2 \beta \cos \beta \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{2 m^3}{3 \sin \alpha \sin^2 \beta \cos \beta}\), поскольку \(\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}\).

Ответ:

\(V = \frac{2 m^3}{3 \sin \alpha \sin^2 \beta \cos \beta}\).