ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.90 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны \(a\) и \(b\), \(a > b\). Двугранный угол пирамиды при ребре большого основания равен \(\alpha\). Найдите объём усечённой пирамиды.

Пусть основания пирамиды — квадраты со сторонами \(a\) и \(b\). Высота усечённой пирамиды равна \(h = \frac{(a — b) \tan \alpha}{2}\), где \(\alpha\) — угол наклона боковой грани.

Площади оснований: \(S_1 = a^2\), \(S_2 = b^2\). Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)\).

Подставляя значения, получаем \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{(a — b) \tan \alpha}{2} (a^2 + a b + b^2)\). Используя формулу разности кубов \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + a b + b^2)\), объём упрощается до \(V = \frac{(a^3 — b^3) \tan \alpha}{6}\).

Пирамида правильная, значит её основания — квадраты со сторонами \(a\) и \(b\). Обозначим стороны большого основания \(AB = BC = CD = DA = a\), а малого основания \(A_1B_1 = B_1C_1 = C_1D_1 = D_1A_1 = b\). Высота усечённой пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины усечённой части на плоскость основания. Для нахождения высоты рассмотрим трапецию \(KA_1D_1M\), где \(A_1D_1 \parallel KM\). Из треугольников \(A_1KH\) и \(D_1OM\), которые равны по катету и острому углу, следует, что \(A_1H = D_1O\), а углы \( \angle KA_1H \) и \( \angle MD_1O \) равны \(90^\circ — \alpha\).

Вычислим длину отрезка \(HO\), который равен половине разности сторон оснований: \(HO = \frac{KM — A_1D_1}{2} = \frac{a — b}{2}\). Тогда высота усечённой пирамиды равна \(A_1H = KH \cdot \tan \angle A_1KH = \frac{(a — b) \tan \alpha}{2}\).

Объём усечённой пирамиды с высотой \(h\) и основаниями площадями \(S_1\) и \(S_2\) вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)\). Подставляя \(h = \frac{(a — b) \tan \alpha}{2}\), а площади оснований \(S_1 = a^2\), \(S_2 = b^2\), получаем:

\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{(a — b) \tan \alpha}{2} \left(a^2 + \sqrt{a^2 b^2} + b^2 \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{(a — b) \tan \alpha}{2} (a^2 + a b + b^2)\).

Используя формулу разности кубов \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + a b + b^2)\), выражение для объёма упрощается до:

\(V = \frac{(a^3 — b^3) \tan \alpha}{6}\).