ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.91 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите отношение объёма цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму, к объёму цилиндра, описанного около этой призмы.

Радиус вписанной окружности правильного треугольника основания призмы равен \(R_1 = \frac{a}{2\sqrt{3}}\), а радиус описанной окружности — \(R_2 = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Объём цилиндра вычисляется по формуле \(V = \pi r^{2} h\). Отношение объёмов цилиндров будет равно отношению квадратов радиусов оснований, так как высоты одинаковы:

\[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1^{2}}{R_2^{2}} = \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^{2} : \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2} = \frac{a^{2}}{12} : \frac{a^{2}}{3} = \frac{1}{4}.
\]

Ответ: \(\frac{1}{4}\).

Найдём радиусы цилиндров. Пусть \(a\) — сторона треугольника в основании призмы.

Радиус цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму:
\(R_1 = \frac{a}{2\sqrt{3}}\).

Радиус цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы:
\(R_2 = \frac{a}{\sqrt{3}}\).

Объём цилиндра вычисляется по формуле
\(V = \pi r^2 h\),
где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота цилиндра.

Отношение объёмов цилиндров:
\[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi R_1^2 h}{\pi R_2^2 h} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 : \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{a^2}{12} : \frac{a^2}{3} = \frac{1}{4}.
\]

Ответ:
\(\frac{1}{4}\).