ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.92 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна \(\alpha\), \(0^\circ < \alpha < 180^\circ\). Найдите объём цилиндра, если радиус его основания равен \(R\), а данное сечение является квадратом.

Дан угол \(\angle AOB = \alpha\), \(AO = OB = R\), \(ABCD\) — квадрат.

Рассмотрим треугольник \(AOB\). Он равнобедренный с основанием \(AB\).

\(OH\) — высота, биссектриса и медиана, значит \(\angle AOH = \angle BOH = \frac{\alpha}{2}\).

Длина \(AH = AO \sin \angle AOH = R \sin \frac{\alpha}{2}\).

Длина основания \(AB = 2AH = 2R \sin \frac{\alpha}{2}\).

Так как \(ABCD\) — квадрат, то высота цилиндра \(AD = AB = 2R \sin \frac{\alpha}{2}\).

Объём цилиндра вычисляется по формуле \(V = \pi r^2 h\), где \(r = R\) — радиус основания, \(h = AD\) — высота.

Подставляем:
\(V = \pi R^2 \cdot 2R \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \pi R^3 \sin \frac{\alpha}{2}\).

Ответ: \(2 \pi R^3 \sin \frac{\alpha}{2}\).

1. Рассмотрим треугольник \(AOB\), в котором даны равные стороны \(AO = OB = R\) и угол между ними \(\angle AOB = \alpha\). Поскольку стороны \(AO\) и \(OB\) равны, треугольник \(AOB\) является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины \(O\) на основание \(AB\), одновременно является биссектрисой и медианой. Обозначим точку пересечения высоты с основанием как \(H\). Тогда \(\angle AOH = \angle BOH = \frac{\alpha}{2}\), так как высота делит угол \(\alpha\) пополам.

2. Длина отрезка \(AH\) равна \(AO \sin \angle AOH\), то есть \(AH = R \sin \frac{\alpha}{2}\). Поскольку \(H\) — середина основания \(AB\), длина всего основания \(AB = 2 AH = 2 R \sin \frac{\alpha}{2}\). Теперь учитываем, что \(ABCD\) — квадрат, значит все его стороны равны, и высота цилиндра, совпадающая с длиной стороны квадрата, равна \(AD = AB = 2 R \sin \frac{\alpha}{2}\).

3. Объём цилиндра вычисляется по формуле \(V = \pi r^{2} h\), где \(r\) — радиус основания цилиндра, а \(h\) — высота цилиндра. В нашем случае радиус основания равен \(R\), а высота равна стороне квадрата \(AD\), то есть \(h = 2 R \sin \frac{\alpha}{2}\). Подставляя значения, получаем \(V = \pi R^{2} \cdot 2 R \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \pi R^{3} \sin \frac{\alpha}{2}\). Это и есть искомый объём цилиндра.