ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.93 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, градусная мера дуги которого равна \(120^\circ\). Найдите объём конуса, если его высота равна 6 см.

Пусть \( R \) — радиус сектора.

Длина дуги окружности:
\( l = \frac{\pi R}{180^\circ} \cdot 120^\circ = \frac{2}{3} \pi R \) см.

Образующая конуса:
\( L = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{r^2 + 6^2} = \sqrt{r^2 + 36} \) см, где \( r \) — радиус основания.

Так как образующая конуса равна радиусу сектора, то
\( l = \frac{2}{3} \pi \sqrt{r^2 + 36} \) см.

Длина окружности основания конуса:
\( 2 \pi r \) см.

Поскольку длина окружности основания равна длине дуги, имеем:
\( 2 \pi r = \frac{2}{3} \pi \sqrt{r^2 + 36} \).

Упростим:
\( 3r = \sqrt{r^2 + 36} \),
возведём в квадрат:
\( 9r^2 = r^2 + 36 \),
\( 8r^2 = 36 \),
\( r^2 = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} \),
\( r = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \) см.

Объём конуса с высотой \( h = 6 \) и радиусом основания \( r \):
\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).

Подставим значения:
\( V = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{9}{2} \cdot 6 = 9 \pi \) см³.

Ответ:
\( 9 \pi \) см³.

1. Для начала найдем длину дуги окружности сектора. Пусть \( R \) — радиус сектора. Известно, что длина дуги окружности вычисляется по формуле \( l = \frac{\pi R}{180^\circ} \cdot \alpha \), где \( \alpha \) — угол сектора в градусах. В данном случае угол равен \( 120^\circ \), значит длина дуги будет равна \( l = \frac{\pi R}{180^\circ} \cdot 120^\circ = \frac{2}{3} \pi R \) сантиметров. Это важный шаг, так как именно длина дуги будет соответствовать длине окружности основания конуса.

2. Далее найдем образующую конуса, то есть длину боковой стороны конуса. Образующая \( L \) равна гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \( r \) (радиус основания конуса) и \( h \) (высота конуса). Высота дана и равна 6 см. Тогда \( L = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{r^2 + 6^2} = \sqrt{r^2 + 36} \) сантиметров. По условию образующая конуса равна радиусу сектора, то есть \( L = R \). Подставляя \( R \) в длину дуги, получаем \( l = \frac{2}{3} \pi \sqrt{r^2 + 36} \).

3. Теперь запишем длину окружности основания конуса, которая равна \( 2 \pi r \). По условию длина окружности основания равна длине дуги сектора, то есть \( 2 \pi r = \frac{2}{3} \pi \sqrt{r^2 + 36} \). Сократим на \( 2 \pi \) обе части уравнения: \( r = \frac{1}{3} \sqrt{r^2 + 36} \). Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: \( r^2 = \frac{1}{9} (r^2 + 36) \). Умножим обе части на 9: \( 9 r^2 = r^2 + 36 \). Перенесем \( r^2 \) в левую часть: \( 9 r^2 — r^2 = 36 \), то есть \( 8 r^2 = 36 \). Отсюда \( r^2 = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} \), а значит \( r = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \) сантиметров.

4. Чтобы найти объем конуса, вспомним формулу \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания, а \( h \) — высота конуса. Подставим найденные значения: \( r^2 = \frac{9}{2} \), \( h = 6 \). Тогда объем равен \( V = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{9}{2} \cdot 6 = \frac{1}{3} \pi \cdot 27 = 9 \pi \) кубических сантиметров.

5. Итог: объем конуса с высотой 6 см и радиусом основания \( \frac{3 \sqrt{2}}{2} \) см равен \( 9 \pi \) см³. Все шаги логично связаны, начиная с нахождения длины дуги сектора, перехода к радиусу основания конуса, и заканчивая вычислением объема по классической формуле для объема конуса.