ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.94 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна \(a\), а плоский угол при вершине пирамиды равен \(\alpha\). Найдите объём конуса, описанного около данной пирамиды.

Квадрат \(ABCD\) со стороной \(a\). Диагональ \(BD = a \sqrt{2}\), точка \(O\) — середина диагонали, значит \(BO = \frac{a \sqrt{2}}{2}\).

В равнобедренном треугольнике \(CSD\) высота \(SD = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\), так как \(DH = \frac{a}{2}\) и \(\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{DH}{SD}\).

Длина \(SO\) вычисляется по теореме Пифагора: \(SO = \sqrt{SD^{2} — DO^{2}} = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} \sqrt{1 — 2 \sin^{2} \frac{\alpha}{2}} = \frac{a \sqrt{\cos \alpha}}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

Объём конуса с радиусом основания \(BO\) и высотой \(SO\) равен \(V = \frac{1}{3} \pi BO^{2} SO = \frac{\pi a^{3} \sqrt{\cos \alpha}}{12 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

1. Рассмотрим квадрат \(ABCD\) со стороной \(a\). Для начала нам нужно найти длину отрезка \(BO\), где \(O\) — точка пересечения диагоналей квадрата. Треугольник \(BAD\) является прямоугольным, так как \(AB\) и \(AD\) перпендикулярны. Диагональ \(BD\) вычисляется по теореме Пифагора: \(BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{2a^{2}} = a \sqrt{2}\). Поскольку точка \(O\) — середина диагонали \(BD\), длина \(BO\) равна половине диагонали: \(BO = \frac{1}{2} BD = \frac{\sqrt{2}}{2} a\).

2. Следующий шаг — найти длину \(SD\), где \(S\) — высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника \(CSD\). Треугольник \(SDH\) прямоугольный, с углами при \(S\) и \(D\), равными \(\frac{\alpha}{2}\). Из треугольника следует, что \(\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{DH}{SD}\). Так как \(DH = \frac{DC}{2} = \frac{a}{2}\), можно выразить \(SD\) как \(SD = \frac{DH}{\sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{a}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

3. Теперь найдём длину \(SO\), где \(SO\) — высота треугольника \(SDO\), который также является прямоугольным. Используем теорему Пифагора: \(SO = \sqrt{SD^{2} — DO^{2}}\). Подставим выражения для \(SD\) и \(DO\): \(SD = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\), \(DO = \frac{a \sqrt{2}}{2}\). Тогда \(SO = \sqrt{\left(\frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\right)^{2} — \left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{4 \sin^{2} \frac{\alpha}{2}} — \frac{2a^{2}}{4}} = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} \sqrt{1 — 2 \sin^{2} \frac{\alpha}{2}}\). Используя формулу двойного угла для косинуса, получаем \(SO = \frac{a \sqrt{\cos \alpha}}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

4. Объём конуса с высотой \(h\) и радиусом основания \(r\) вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h\). В нашем случае радиус основания равен \(BO\), а высота конуса — \(SO\). Подставим найденные значения: \(r = BO = \frac{\sqrt{2}}{2} a\), \(h = SO = \frac{a \sqrt{\cos \alpha}}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\). Тогда объём будет равен \(V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)^{2} \cdot \frac{a \sqrt{\cos \alpha}}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{3} \pi \frac{2}{4} a^{2} \cdot \frac{a \sqrt{\cos \alpha}}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{\pi a^{3} \sqrt{\cos \alpha}}{12 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

5. Таким образом, итоговый ответ для объёма конуса, построенного на основании, образованном отрезком \(BO\), и высоте \(SO\), равен \(V = \frac{\pi a^{3} \sqrt{\cos \alpha}}{12 \sin \frac{\alpha}{2}}\). Эта формула учитывает все геометрические зависимости, исходя из свойств квадрата и равнобедренного треугольника, а также применяет основные тригонометрические тождества и теорему Пифагора для вычисления необходимых длин.