ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.95 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен \(\alpha\), а радиус шара, описанного около конуса, равен \(R\). Найдите объём конуса.

Рассмотрим треугольник \( ABC \) с углами \( \angle BCA = \angle BAC = \alpha \), тогда угол \( \angle ABC = 180^\circ — 2\alpha \). Найдём отрезок \( OH \). Угол \( \angle HOC = \frac{1}{2} \angle AOC = \angle ABC = 180^\circ — 2\alpha \). По определению косинуса: \( HC = OC \cdot \cos(180^\circ — 2\alpha) = -R \cdot \cos 2\alpha \).

Найдём отрезок \( HC \) по определению синуса: \( HC = OC \cdot \sin(180^\circ — 2\alpha) = R \sin 2\alpha \). Высота \( BH = BO + OH = R — R \cos 2\alpha = R(1 — \cos 2\alpha) = R \cdot 2 \sin^2 \alpha \).

Объём конуса равен \( V = \frac{1}{3} \pi (R \sin 2\alpha)^2 \cdot R \cdot 2 \sin^2 \alpha = \frac{2}{3} \pi R^3 \sin^2 \alpha \sin^2 2\alpha \).

Ответ: \( V = \frac{2}{3} \pi R^3 \sin^2 \alpha \sin^2 2\alpha \).

Рассмотрим треугольник \( ABC \), в котором углы при вершинах \( B \) и \( A \) равны \(\alpha\), то есть \( \angle BCA = \angle BAC = \alpha \). Поскольку сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), угол при вершине \( C \) равен \( \angle ABC = 180^\circ — 2\alpha \). Это важный факт, так как позволяет выразить все углы треугольника через одну переменную \(\alpha\), что значительно упростит дальнейшие вычисления. Далее рассмотрим точку \( H \), лежащую на основании конуса, и точку \( O \), центр основания. Угол \( \angle HOC \) равен половине угла \( \angle AOC \), то есть \( \angle HOC = \frac{1}{2} \angle AOC = \angle ABC = 180^\circ — 2\alpha \). Это равенство позволяет использовать свойства тригонометрических функций для вычисления длины отрезка \( HC \).

Длина отрезка \( HC \) вычисляется с помощью тригонометрии. По определению косинуса, длина \( HC \) равна произведению длины \( OC \) на косинус угла \( \angle HOC \), то есть \( HC = OC \cdot \cos(180^\circ — 2\alpha) \). Поскольку \( OC = R \) — радиус основания конуса, получаем \( HC = R \cdot \cos(180^\circ — 2\alpha) \). Известно, что \( \cos(180^\circ — x) = -\cos x \), поэтому \( HC = -R \cdot \cos 2\alpha \). Аналогично, используя определение синуса, можно выразить длину \( HC \) как \( HC = OC \cdot \sin(180^\circ — 2\alpha) = R \sin 2\alpha \), учитывая, что \( \sin(180^\circ — x) = \sin x \). Эти выражения показывают, что длина отрезка \( HC \) связана с углом \(\alpha\) и радиусом основания через функции синуса и косинуса.

Высота конуса \( BH \) определяется как сумма отрезков \( BO \) и \( OH \). Из рисунка видно, что \( BO = R \), а \( OH = R \cos 2\alpha \), следовательно, высота равна \( BH = BO — OH = R — R \cos 2\alpha = R(1 — \cos 2\alpha) \). Используя формулу двойного угла для косинуса, получаем \( 1 — \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha \), поэтому \( BH = R \cdot 2 \sin^2 \alpha \). Для нахождения объёма конуса применим формулу \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), где радиус основания \( r = R \sin 2\alpha \), а высота \( h = BH = R \cdot 2 \sin^2 \alpha \). Подставляя значения, получаем \( V = \frac{1}{3} \pi (R \sin 2\alpha)^2 \cdot R \cdot 2 \sin^2 \alpha = \frac{2}{3} \pi R^3 \sin^2 \alpha \sin^2 2\alpha \). Таким образом, объём конуса выражается через радиус основания и угол \(\alpha\) с помощью тригонометрических функций.