ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.96 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота и объём усечённого конуса равны высоте и объёму цилиндра. Радиусы оснований усечённого конуса равны 2 см и 11 см. Найдите радиус основания цилиндра.

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{\pi h}{3} (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) \). Подставляем радиусы \( r_1 = 2 \) и \( r_2 = 11 \), получаем \( V_k = \frac{\pi h_k}{3} (4 + 22 + 121) = 49 \pi h_k \).

Объём цилиндра равен \( V = \pi r^2 h \). Из условия \( V_y = V_k \) и \( h_y = h_k \), значит \( \pi r_y^2 h_y = 49 \pi h_k \).

Делим обе части на \( \pi h_y \), получаем \( r_y^2 = 49 \), откуда \( r_y = 7 \).

Ответ: радиус основания цилиндра равен 7 см.

1. Объём усечённого конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{\pi h}{3} (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) \), где \( h \) — высота усечённого конуса, \( r_1 \) и \( r_2 \) — радиусы его оснований. Эта формула учитывает площадь обеих оснований и среднюю площадь между ними, что отражается в сумме квадратов радиусов и их произведения. Для конкретных значений радиусов \( r_1 = 2 \) см и \( r_2 = 11 \) см подставляем в формулу: \( V_k = \frac{\pi h_k}{3} (2^2 + 2 \cdot 11 + 11^2) \).

2. Вычисляем выражение в скобках: \( 2^2 = 4 \), \( 2 \cdot 11 = 22 \), \( 11^2 = 121 \). Складываем их: \( 4 + 22 + 121 = 147 \). Таким образом, объём усечённого конуса равен \( V_k = \frac{147 \pi h_k}{3} = 49 \pi h_k \) кубических сантиметров. Это значение показывает, что объём пропорционален высоте \( h_k \) и зависит от радиусов оснований.

3. Объём цилиндра вычисляется по формуле \( V = \pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания, а \( h \) — высота цилиндра. Из условия задачи известно, что объём цилиндра равен объёму усечённого конуса, то есть \( V_y = V_k \). Подставляем: \( \pi r_y^2 h_y = 49 \pi h_k \). Высота цилиндра равна высоте усечённого конуса, значит \( h_y = h_k \).

4. Упрощаем уравнение, делим обе части на \( \pi h_y \): \( r_y^2 = \frac{49 \pi h_k}{\pi h_y} = 49 \), так как \( h_k = h_y \). Следовательно, радиус основания цилиндра равен \( r_y = \sqrt{49} = 7 \) см. Это означает, что цилиндр с радиусом 7 см и высотой, равной высоте усечённого конуса, имеет такой же объём, как и данный усечённый конус.

5. Итог: используя формулы объёма усечённого конуса и цилиндра, а также условие равенства объёмов, мы нашли радиус основания цилиндра. Подставляя известные значения и учитывая равенство высот, получили точное значение радиуса \( r_y = 7 \) см.