ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.97 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Ромб со стороной 4 см и углом \(60^\circ\) вращается вокруг прямой, проходящей через вершину его тупого угла и перпендикулярной меньшей диагонали ромба. Найдите объём образовавшегося тела.

Рассмотрим тело вращения, образованное вращением ромба вокруг оси.

Объём тела вращения равен удвоенной разности объёмов усечённого конуса и конуса:

\( V_{т.вр.} = 2 \cdot (V_1 — V_2) \),

где \( V_1 \) — объём усечённого конуса, образованного вращением трапеции \( BCND \) вокруг прямой \( a \), содержащей сторону \( DN \),

а \( V_2 \) — объём конуса, образованного вращением треугольника \( DCN \) вокруг той же прямой.

Для усечённого конуса:

\( V_1 = \frac{\pi h}{3} (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) \),

где \( h = OC = 2\sqrt{3} \), \( r_1 = CN = OD = 2 \), \( r_2 = BD = 4 \).

Подставляем:

\( V_1 = \frac{\pi \cdot 2\sqrt{3}}{3} (2^2 + 2 \cdot 4 + 4^2) = \frac{\pi \cdot 2\sqrt{3}}{3} (4 + 8 + 16) = \frac{\pi \cdot 2\sqrt{3}}{3} \cdot 28 = \frac{56 \sqrt{3} \pi}{3} \).

Объём конуса:

\( V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 2^2 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{8 \sqrt{3} \pi}{3} \).

Итоговый объём тела вращения:

\( V_{т.вр.} = 2 \cdot \left( \frac{56 \sqrt{3} \pi}{3} — \frac{8 \sqrt{3} \pi}{3} \right) = 2 \cdot \frac{48 \sqrt{3} \pi}{3} = \frac{96 \sqrt{3} \pi}{3} = 32 \sqrt{3} \pi \).

Ответ:

\( 32 \sqrt{3} \pi \) см³.

Заметим, что равные прямоугольные трапеции \( BCND \) и \( BAPD \) при вращении вокруг прямой \( a \), содержащей стороны \( DN \) и \( PD \), образуют равные усечённые конусы с радиусами оснований \( r_1 = CN \), \( r_2 = BD \) и высотой \( h = CO \). Также прямоугольные треугольники \( CND \) и \( APD \), вращаясь вокруг той же прямой \( a \), образуют равные конусы с радиусом основания \( r = CN \) и высотой \( h = DN \).

Объём тела вращения выражается через объёмы усечённых конусов и конусов по формуле

\( V_{т.вр.} = 2 \cdot (V_1 — V_2) \),

где \( V_1 \) — объём усечённого конуса, образованного вращением трапеции \( BCND \) вокруг прямой \( a \), а \( V_2 \) — объём конуса, образованного вращением треугольника \( DCN \) вокруг той же прямой.

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле

\( V_1 = \frac{\pi h}{3} (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) \),

где \( h \) — высота усечённого конуса, \( r_1 \) и \( r_2 \) — радиусы оснований.

Найдём длины отрезков \( OD \) и \( AO \) в прямоугольном треугольнике \( AOD \). Угол \( \angle OAD = 60^\circ : 2 = 30^\circ \). Тогда

\( OD = \frac{1}{2} AD = 2 \) см,

\( AO = 4 \cdot \cos 30^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} \) см.

Диагонали ромба равны

\( AC = 2 AO = 4 \sqrt{3} \),

\( BD = 2 OD = 4 \).

Подставим значения в формулу объёма усечённого конуса:

\( r_1 = CN = OD = 2 \) см,

\( r_2 = BD = 4 \) см,

\( h = OC = 2 \sqrt{3} \) см.

Тогда

\( V_1 = \frac{\pi h}{3} (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) = \frac{\pi \cdot 2 \sqrt{3}}{3} (2^2 + 2 \cdot 4 + 4^2) = \frac{\pi \cdot 2 \sqrt{3}}{3} (4 + 8 + 16)=\)
\( = \frac{56 \sqrt{3} \pi}{3} \) см³.

Вспомним объём конуса с высотой \( h \) и радиусом основания \( r \):

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).

Найдём объём конуса, образованного вращением треугольника \( DCN \) вокруг прямой \( a \). Радиус основания \( r = CN = OD = 2 \) см, высота \( h = DN = OC = 2 \sqrt{3} \) см. Тогда

\( V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 2^2 \cdot 2 \sqrt{3} = \frac{8 \sqrt{3} \pi}{3} \) см³.

Объём тела вращения равен

\( V_{т.вр.} = 2 \cdot (V_1 — V_2) = 2 \cdot \left( \frac{56 \sqrt{3} \pi}{3} — \frac{8 \sqrt{3} \pi}{3} \right) = 2 \cdot \frac{48 \sqrt{3} \pi}{3} = \frac{96 \sqrt{3} \pi}{3} = 32 \sqrt{3} \pi \) см³.