ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.98 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Объём цилиндра равен \(16\pi\) см\(^3\). Найдите объём шара, вписанного в данный цилиндр.

Радиус основания цилиндра равен радиусу шара \(r\), высота цилиндра равна диаметру шара \(h = 2r\).

Объём цилиндра равен \( \pi r^2 \cdot 2r = 16\pi \).

Разделим обе части на \(2\pi\): \(r^3 = 8\), значит \(r = 2\).

Объём шара вычисляется по формуле \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\).

Подставляем \(r = 2\): \(V = \frac{4}{3} \pi \cdot 8 = \frac{32\pi}{3}\) см³.

Ответ: \(\frac{32\pi}{3}\) см³.

1. Так как в данный цилиндр вписан шар, радиус основания цилиндра равен радиусу шара \(r\), а высота цилиндра равна диаметру шара \(h = d = 2r\).

2. Объём цилиндра вычисляется по формуле \(V_{\text{цилиндра}} = \pi r^{2} h\). Подставим \(h = 2r\):
\(V_{\text{цилиндра}} = \pi r^{2} \cdot 2r = 2 \pi r^{3}\).

3. По условию объём цилиндра равен \(16 \pi\), значит:
\(2 \pi r^{3} = 16 \pi\).

4. Разделим обе части равенства на \(2 \pi\):
\(r^{3} = 8\).

5. Из уравнения \(r^{3} = 8\) найдём радиус шара:
\(r = 2\).

6. Объём шара вычисляется по формуле
\(V = \frac{4}{3} \pi r^{3}\).

7. Подставим \(r = 2\) в формулу объёма шара:
\(V = \frac{4}{3} \pi \cdot 2^{3} = \frac{4}{3} \pi \cdot 8 = \frac{32 \pi}{3}\) см³.

Ответ: \(\frac{32 \pi}{3}\) см³.