ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 21.99 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь осевого сечения цилиндра равна \(S\), а угол между диагональю этого сечения и плоскостью основания равен \(\alpha\). Найдите площадь сферы, описанной около данного цилиндра.

Площадь поверхности сферы с радиусом \( r \) равна \( S_{\text{сферы}} = 4 \pi r^2 \).

Из прямоугольника \( ABCD \) имеем \( S = h \cdot 2r \), откуда \( r = \frac{S}{2h} \).

Из прямоугольного треугольника \( OO_1D \) выражаем \( \tan \alpha = \frac{h}{\frac{2h}{S}} = \frac{h^2}{S} \), следовательно \( h = \sqrt{S \tan \alpha} \).

Подставляем \( h \) в формулу для \( r \): \( r = \frac{S}{2 \sqrt{S \tan \alpha}} = \frac{\sqrt{S}}{2 \sqrt{\tan \alpha}} \).

Найдём \( OD \) из треугольника \( OO_1D \). Так как \( \cos \alpha = \frac{O_1D}{OD} = \frac{r}{R} \), то \( R = \frac{r}{\cos \alpha} = \frac{S}{2 \sqrt{S \tan \alpha} \cos \alpha} \).

Площадь сферы:
\( S_{\text{сферы}} = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\frac{S}{2 \cos \alpha \sqrt{S \tan \alpha}}\right)^2 = \frac{4 \pi S^2}{4 \cos^2 \alpha \cdot S \tan \alpha} = \frac{\pi S}{\sin \alpha \cos \alpha} \).

Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

Тогда итоговая площадь сферы:
\( S_{\text{сферы}} = \frac{2 \pi S}{\sin 2\alpha} \).

1. Начнем с формулы площади поверхности сферы. Площадь поверхности сферы с радиусом \( r \) выражается формулой \( S_{\text{сферы}} = 4 \pi r^2 \). Эта формула является классической и хорошо известной в геометрии, она показывает, что площадь поверхности пропорциональна квадрату радиуса сферы. Для дальнейших вычислений нам необходимо связать радиус сферы \( r \) с другими параметрами задачи.

2. Рассмотрим прямоугольник \( ABCD \), который является осевым сечением цилиндра. Его площадь равна произведению двух сторон: \( S = h \cdot 2r \), где \( h \) — высота прямоугольника, а \( 2r \) — диаметр основания цилиндра. Из этого равенства можно выразить радиус основания цилиндра: \( r = \frac{S}{2h} \). Это важный шаг, так как теперь радиус сферы можно выразить через площадь прямоугольника и высоту \( h \).

3. Для связи высоты \( h \) с углом \( \alpha \) используем прямоугольный треугольник \( OO_1D \). В этом треугольнике по определению тангенса угла \( \alpha \) имеем \( \tan \alpha = \frac{противолежащий катет}{прилежащий катет} = \frac{h}{\frac{2h}{S}} \). Упрощая, получаем \( \tan \alpha = \frac{h^2}{S} \), откуда следует, что \( h = \sqrt{S \tan \alpha} \). Таким образом, высота \( h \) выражается через площадь \( S \) и угол \( \alpha \).

4. Подставим найденное выражение для \( h \) в формулу для радиуса \( r \). Получаем \( r = \frac{S}{2 \sqrt{S \tan \alpha}} = \frac{\sqrt{S}}{2 \sqrt{\tan \alpha}} \). Это выражение связывает радиус основания цилиндра с известными параметрами задачи — площадью и углом.

5. Теперь рассмотрим отрезок \( OD \) в треугольнике \( OO_1D \). По определению косинуса угла \( \alpha \) имеем \( \cos \alpha = \frac{O_1D}{OD} = \frac{r}{R} \), где \( R \) — радиус сферы. Отсюда выражаем радиус сферы: \( R = \frac{r}{\cos \alpha} \). Подставляя значение \( r \), получаем \( R = \frac{S}{2 \sqrt{S \tan \alpha} \cos \alpha} \).

6. Чтобы найти площадь поверхности сферы, подставим выражение для \( R \) в формулу площади: \( S_{\text{сферы}} = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\frac{S}{2 \cos \alpha \sqrt{S \tan \alpha}}\right)^2 \). Раскроем скобки и упростим: \( S_{\text{сферы}} = 4 \pi \frac{S^2}{4 \cos^2 \alpha \cdot S \tan \alpha} = \frac{\pi S}{\cos^2 \alpha \tan \alpha} \).

7. Используя тригонометрические тождества, перепишем выражение. Поскольку \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), получаем \( \frac{\pi S}{\cos^2 \alpha \tan \alpha} = \frac{\pi S}{\cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\pi S}{\cos \alpha \sin \alpha} \).

8. Напомним формулу для синуса двойного угла: \( \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \). Это важное тригонометрическое тождество позволяет упростить выражение для площади сферы.

9. Применяя формулу синуса двойного угла к выражению для площади, получаем \( \frac{\pi S}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2 \pi S}{\sin 2 \alpha} \). Таким образом, площадь поверхности сферы выражается через площадь прямоугольника \( S \) и угол \( \alpha \) в виде \( \frac{2 \pi S}{\sin 2 \alpha} \).

10. Итоговое выражение для площади поверхности сферы: \( S_{\text{сферы}} = \frac{2 \pi S}{\sin 2 \alpha} \). Это выражение полностью связывает искомую площадь с исходными параметрами задачи и отражает зависимость площади сферы от угла \( \alpha \) и площади прямоугольника \( S \).