ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.1 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите периметр прямоугольного треугольника, гипотенуза которого на 7 см больше одного из катетов, а другой катет равен 21 см.

Пусть один катет \(x\), другой катет \(21\), гипотенуза \(x+7\). По теореме Пифагора:
\(x^2 + 21^2 = (x+7)^2\)
\(x^2 + 441 = x^2 + 14x + 49\)
\(441 = 14x + 49\)
\(441 — 49 = 14x\)
\(392 = 14x\)
\(x = \frac{392}{14} = 28\)

Катеты: \(28\) см, \(21\) см
Гипотенуза: \(28 + 7 = 35\) см

Периметр: \(28 + 21 + 35 = 84\) см

Пусть один из катетов обозначим как \(x\), а другой катет равен \(21\) см. По условию задачи, гипотенуза на \(7\) см больше одного из катетов, то есть гипотенуза будет равна \(x+7\). Для любого прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Запишем это в виде уравнения: \(x^{2} + 21^{2} = (x+7)^{2}\).

Раскроем скобки и упростим уравнение. Получаем: \(x^{2} + 441 = x^{2} + 14x + 49\). Переносим все члены, содержащие \(x\), в одну сторону, а числа — в другую, чтобы выразить \(x\): \(x^{2} + 441 — x^{2} — 49 = 14x\). Сокращаем одинаковые члены: \(441 — 49 = 14x\). Получаем \(392 = 14x\). Теперь выразим \(x\) через деление: \(x = \frac{392}{14} = 28\).

Теперь можем найти длины всех сторон треугольника: первый катет \(x = 28\) см, второй катет по условию \(21\) см, гипотенуза \(x + 7 = 28 + 7 = 35\) см. Периметр треугольника — это сумма всех сторон: \(28 + 21 + 35 = 84\) см.