ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Периметр равнобедренного треугольника равен 100 см, а высота, опущенная на основание, — 30 см. Найдите площадь треугольника.

Периметр равнобедренного треугольника: \(x + 2y = 100\), где \(x\) — основание, \(y\) — боковая сторона. Высота к основанию: \(BH = 30\). Основание делится пополам: \(AH = HC = \frac{x}{2}\).

По теореме Пифагора: \(y^{2} = \left(\frac{x}{2}\right)^{2} + 30^{2}\). Подставляем \(x = 100 — 2y\): \(y^{2} = (50 — y)^{2} + 900\). Решаем: \(y = 34\), \(x = 32\).

Площадь: \(S = \frac{1}{2} \times 32 \times 30 = 480\) см\(^{2}\).

Дан равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\) и боковыми сторонами \(AB\) и \(BC\). Периметр треугольника равен \(100\) см, а высота \(BH\), опущенная из вершины \(B\) на основание \(AC\), равна \(30\) см. Обозначим основание \(AC = x\), а боковые стороны \(AB = BC = y\). Так как высота в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, делит его пополам, получаем: \(AH = HC = \frac{x}{2}\).

Запишем выражение для периметра: \(x + 2y = 100\). Выразим \(x\) через \(y\): \(x = 100 — 2y\). Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику \(BHA\): \(y^{2} = \left(\frac{x}{2}\right)^{2} + 30^{2}\). Подставим выражение для \(x\): \(y^{2} = \left(\frac{100 — 2y}{2}\right)^{2} + 30^{2}\). Упростим: \(y^{2} = (50 — y)^{2} + 900\). Раскроем скобки: \(y^{2} = 2500 — 100y + y^{2} + 900\). Сократим одинаковые члены: \(0 = 3400 — 100y\), отсюда \(100y = 3400\), значит \(y = 34\). Найдём основание: \(x = 100 — 2 \times 34 = 32\) см.

Теперь рассчитаем площадь треугольника по формуле: \(S = \frac{1}{2} \times x \times BH\). Подставим значения: \(S = \frac{1}{2} \times 32 \times 30\). Перемножим: \(32 \times 30 = 960\), затем поделим на \(2\): \(\frac{960}{2} = 480\). Таким образом, площадь данного треугольника составляет \(480\) см\(^{2}\).