ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.100 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан острый угол с вершиной в точке \( A \). На биссектрисе этого угла расположены два центра окружностей \( O_1 \) и \( O_2 \), каждая из которых касается сторон угла. Радиус первой окружности равен 2 см, а расстояние от вершины \( A \) до точки касания первой окружности с одной из сторон угла равно 6 см. Известно, что угол между биссектрисой и одной из сторон угла равен \( 30^\circ \). Требуется найти радиус второй окружности, центр которой лежит на той же биссектрисе и которая также касается сторон угла.

Пусть радиусы окружностей равны \(2\) и \(x\) см.

Так как окружности касаются угла, их центры лежат на биссектрисе угла, значит \(\angle CAO_2 = 30^\circ\).

Треугольники \(ABO_1\) и \(ACO_2\) прямоугольные и подобны.

Вычисляем \(AO_1 = 2 \cdot 6 = 12\) см — катет, лежащий напротив угла \(30^\circ\).

Составляем пропорцию по подобию треугольников:

\[
\frac{AO_1}{O_1B} = \frac{AO_2}{O_2C}
\]

Подставляем значения:

\[
\frac{12}{6} = \frac{12 + 6 + x}{x}
\]

Решаем уравнение:

\[
2 = \frac{18 + x}{x}, \quad 2x = 18 + x, \quad x = 18
\]

Ответ: радиус второй окружности равен 18 см.

Рассмотрим условие задачи более подробно. Даны две окружности, касающиеся угла с вершиной в точке \( A \). Поскольку окружности касаются сторон угла, их центры \( O_1 \) и \( O_2 \) будут лежать на биссектрисе этого угла. Из рисунка видно, что угол между биссектрисой и одной из сторон равен \( 30^\circ \), то есть \( \angle CAO_2 = 30^\circ \).

Далее обратим внимание на треугольники \( ABO_1 \) и \( ACO_2 \). Радиусы окружностей в точках касания с прямой \( AC \) перпендикулярны этой прямой, что делает треугольники прямоугольными. У них общий острый угол при вершине \( A \), следовательно, треугольники подобны по двум углам. Это подобие позволяет составить пропорцию между соответствующими сторонами треугольников.

Для вычисления длины \( AO_1 \) используем известные данные: радиус первой окружности равен 2 см, расстояние \( AB = 6 \) см. Поскольку \( AO_1 \) — катет, лежащий напротив угла \( 30^\circ \), он равен \( 2 \cdot 6 = 12 \) см. Далее обозначим радиус второй окружности как \( x \) см. Зная, что \( O_1B = 2 \) и \( O_2C = x \), составляем уравнение по подобию треугольников:

\(\frac{AO_1}{O_1B} = \frac{AO_2}{O_2C}\),

где \( AO_2 = AO_1 + O_1B + x = 12 + 6 + x \). Подставляя значения, получаем:

\(\frac{12}{6} = \frac{12 + 6 + x}{x}\).

Решая уравнение, умножаем обе части на \( x \):

\(2x = 18 + x\),

откуда

\(x = 18\).

Таким образом, радиус второй окружности равен 18 см.