ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.101 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны две окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\), которые касаются друг друга внешним образом в точке \(C\). Точка \(C\) лежит на отрезке \(AB\), где \(A\) и \(B\) — точки касания окружностей с отрезком \(AB\). Известно, что длины отрезков \(AC = 12\) см, \(CB = 18\) см, а расстояние между центрами окружностей \(O_1\) и \(O_2\) равно \(20\) см. Требуется найти радиусы окружностей \(r = O_1C\) и \(R = O_2C\).

Рассмотрим треугольники \( AO_1C \) и \( BO_2C \). Они равнобедренные, так как \( AO_1 = O_1C = r \) и \( BO_2 = O_2C = R \). Углы при вершинах \( O_1 \) и \( O_2 \) равны, следовательно треугольники подобны.

Из подобия следует равенство отношений сторон: \(\frac{AC}{CB} = \frac{r}{R}\).

Дано: \( AC = 12 \), \( CB = 18 \), \( AB = r + R = 20 \).

Подставляем: \(\frac{12}{18} = \frac{r}{20 — r}\).

Умножаем обе части на \(18(20 — r)\): \(12(20 — r) = 18r\).

Раскрываем скобки: \(240 — 12r = 18r\).

Переносим слагаемые: \(240 = 30r\).

Делим на 30: \(r = 8\).

Тогда \(R = 20 — 8 = 12\).

Ответ: радиусы равны 8 см и 12 см.

Рассмотрим два треугольника \(AO_1C\) и \(BO_2C\). В каждом из них две стороны равны, так как они являются радиусами соответствующих окружностей: \(AO_1 = O_1C = r\) и \(BO_2 = O_2C = R\). Это означает, что треугольники равнобедренные. Кроме того, углы при вершинах \(O_1\) и \(O_2\) равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых \(AC\) и \(BC\). Следовательно, треугольники \(AO_1C\) и \(BO_2C\) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношения соответствующих сторон равны. Поэтому можно записать уравнение \( \frac{AC}{CB} = \frac{r}{R} \). Из условия задачи известно, что \(AC = 12\) см, \(CB = 18\) см, а длина отрезка \(AB = 20\) см равна сумме радиусов: \(r + R = 20\). Подставляя эти значения, получаем уравнение \( \frac{12}{18} = \frac{r}{20 — r} \).

Решаем уравнение: умножаем обе части на \(18(20 — r)\), получаем \(12(20 — r) = 18r\). Раскрываем скобки: \(240 — 12r = 18r\). Переносим все слагаемые с \(r\) в одну сторону: \(240 = 30r\). Делим обе части на 30: \(r = 8\). Значит, радиус меньшей окружности \(O_1C = 8\) см. Тогда радиус большей окружности \(O_2C = 20 — 8 = 12\) см. Ответ: 8 см и 12 см.