ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.102 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике \( ABC \) угол \( B \) прямой. Высота \( BH \), опущенная из вершины прямого угла \( B \) на гипотенузу \( AC \), равна 10 см. Отрезок \( HC \) на 21 см длиннее отрезка \( AH \). Найдите длину окружности, описанной около треугольника \( ABC \).

Пусть \( AH = x \) см, тогда \( HC = x + 21 \) см.

Высота \( BH \) равна \( BH = \sqrt{AH \cdot HC} = \sqrt{x(x+21)} \).

Из условия \( BH = 10 \), значит \( 10 = \sqrt{x(x+21)} \).

Возводим в квадрат: \( 100 = x^2 + 21x \).

Приводим к квадратному уравнению: \( x^2 + 21x — 100 = 0 \).

Дискриминант: \( D = 21^2 + 4 \cdot 100 = 441 + 400 = 841 \).

Корни:
\( x_1 = \frac{-21 — 29}{2} = -25 \) (не подходит),
\( x_2 = \frac{-21 + 29}{2} = 4 \).

Следовательно, \( AH = 4 \) см.

Тогда \( HC = 4 + 21 = 25 \) см.

Диаметр окружности \( d = AH + HC = 4 + 25 = 29 \) см.

Длина окружности \( L = \pi d = 29 \pi \) см.

Ответ: \( 29 \pi \) см.

Рассмотрим треугольник \( ABC \), вписанный в окружность, где угол \( B \) прямой, то есть \( \angle B = 90^\circ \). По свойству прямоугольного треугольника, высота \( BH \), опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу \( AC \), равна геометрическому среднему от отрезков, на которые эта высота делит гипотенузу. То есть \( BH = \sqrt{AH \cdot HC} \).

Обозначим \( AH = x \) сантиметров. Тогда, учитывая условие задачи, \( HC = x + 21 \) сантиметров, так как \( HC \) на 21 см больше \( AH \). Подставляя эти обозначения в формулу для высоты, получаем \( BH = \sqrt{x(x+21)} \).

Из условия известно, что \( BH = 10 \) см. Подставим это значение: \( 10 = \sqrt{x(x+21)} \). Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \( 100 = x^2 + 21x \). Приведём уравнение к стандартному виду квадратного: \( x^2 + 21x — 100 = 0 \). Найдём дискриминант: \( D = 21^2 + 4 \cdot 100 = 441 + 400 = 841 \). Корни уравнения вычисляются по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), где \( a = 1, b = 21 \). Получаем два корня: \( x_1 = \frac{-21 — 29}{2} = -25 \) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной), и \( x_2 = \frac{-21 + 29}{2} = 4 \). Значит, \( AH = 4 \) см.

Теперь найдём \( HC \): \( HC = 4 + 21 = 25 \) см. Диаметр окружности равен сумме отрезков \( AH \) и \( HC \), то есть \( d = AH + HC = 4 + 25 = 29 \) см. Длина окружности вычисляется по формуле \( L = \pi d \), следовательно, \( L = 29 \pi \) см.