ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.103 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны две окружности с центрами в точках \( O_1 \) и \( O_2 \), пересекающиеся в точках \( A \) и \( B \). Известно, что точки \( C \) и \( B \) лежат на окружности с центром в \( O_2 \), а точки \( A \) и \( C \) — на окружности с центром в \( O_1 \). Отрезки \( O_1C \) и \( O_2B \) параллельны, а углы \( \angle O_1CB \) и \( \angle CBO_2 \) равны 90 градусам. Требуется доказать, что угол \( BAC \) прямой.

Пусть угол \( ABO_2 = x \).

Треугольник \( ABO_2 \) равнобедренный, так как \( AO_2 = BO_2 \) — радиусы окружности. Тогда углы при основании равны: \( \angle ABO_2 = \angle BAO_2 = x \), а угол \( AO_2B = 180^\circ — 2x \).

Четырёхугольник \( O_1CBO_2 \) — прямоугольная трапеция, так как \( \angle O_1CB = \angle CBO_2 = 90^\circ \) и \( O_1C \parallel O_2B \). Тогда угол \( \angle CO_1O_2 = 2x \).

Треугольник \( O_1CA \) равнобедренный, так как \( O_1C = O_1A \) — радиусы окружности. Угол \( \angle O_1CA = \angle O_1AC = \frac{180^\circ — 2x}{2} = 90^\circ — x \).

Угол \( BAC = 180^\circ — x — (90^\circ — x) = 90^\circ \).

Ответ: угол \( BAC \) прямой.

Рассмотрим угол \( ABO_2 \) и обозначим его за \( x \). В треугольнике \( ABO_2 \) стороны \( AO_2 \) и \( BO_2 \) равны, так как это радиусы одной и той же окружности. Следовательно, треугольник \( ABO_2 \) равнобедренный с основанием \( AB \). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому \( \angle ABO_2 = \angle BAO_2 = x \). Тогда оставшийся угол \( AO_2B \) вычисляется как разность от 180 градусов: \( \angle AO_2B = 180^\circ — 2x \).

Далее рассмотрим четырёхугольник \( O_1CBO_2 \). Из условия видно, что углы \( \angle O_1CB \) и \( \angle CBO_2 \) равны 90 градусам, а стороны \( O_1C \) и \( O_2B \) параллельны. Это означает, что \( O_1CBO_2 \) — прямоугольная трапеция. В такой трапеции сумма углов при одном основании равна 180 градусам. Угол \( \angle CO_1O_2 \) можно найти через разность 180 градусов и угла \( \angle O_1O_2B \), который равен \( 180^\circ — 2x \), то есть \( \angle CO_1O_2 = 180^\circ — (180^\circ — 2x) = 2x \).

Теперь обратимся к треугольнику \( O_1CA \). Стороны \( O_1C \) и \( O_1A \) равны, так как это радиусы окружности с центром в \( O_1 \). Следовательно, треугольник \( O_1CA \) равнобедренный, и углы при основании равны. Угол \( \angle O_1CA \) равен углу \( \angle O_1AC \), и их значение можно найти, поделив оставшийся угол треугольника на два: \( \angle O_1CA = \angle O_1AC = \frac{180^\circ — 2x}{2} = 90^\circ — x \).

Для нахождения угла \( BAC \) используем сумму углов на прямой линии: \( \angle BAC = 180^\circ — x — (90^\circ — x) = 90^\circ \). Таким образом, угол \( BAC \) является прямым, что и требовалось доказать.