ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.104 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Пусть дана окружность с точками \( A \), \( B \), \( K \) на её окружности, причем \( K \) — точка касания касательной к окружности. Точка \( M \) лежит на хорде \( AB \). Требуется доказать, что сумма угла \( \angle AMB \), образованного точками \( A \), \( M \), \( B \), и угла \( \angle AKB \), образованного касательной в точке \( K \) и хордой \( AB \), равна \( 180^\circ \).

Пусть \( \angle AKB \) — угол между касательной и хордой.

Так как угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую стягивает эта хорда, то

\( \angle AKB = \angle AKM + \angle MKB = \angle MAB + \angle MBA \).

Докажем, что \( \angle AMB + \angle AKB = 180^\circ \).

Так как \( \angle AKB = \angle MAB + \angle MBA \), согласно предыдущему, то

\( \angle AMB + \angle AKB = \angle AMB + \angle MAB + \angle MBA = 180^\circ \),

так как это сумма углов треугольника.

Ответ: \( \angle AMB + \angle AKB = 180^\circ \).

Рассмотрим угол \( \angle AKB \), который образован касательной к окружности в точке \( K \) и хордой \( AB \). Известно, что угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую стягивает эта хорда. Это означает, что если хорда \( AB \) ограничивает дугу на окружности, то угол \( \angle AKB \) будет равен половине меры этой дуги. В нашем случае, угол \( \angle AKB \) можно разложить на сумму двух углов: \( \angle AKM \) и \( \angle MKB \), где точка \( M \) — точка пересечения \( AB \) с отрезком \( KM \). По теореме о вписанном угле, эти углы равны углам \( \angle MAB \) и \( \angle MBA \) соответственно, то есть \( \angle AKB = \angle MAB + \angle MBA \).

Теперь докажем, что сумма углов \( \angle AMB \) и \( \angle AKB \) равна \( 180^\circ \). Из предыдущего шага мы знаем, что \( \angle AKB = \angle MAB + \angle MBA \). Если добавить к этому углу угол \( \angle AMB \), то получим выражение \( \angle AMB + \angle AKB = \angle AMB + \angle MAB + \angle MBA \). Рассмотрим треугольник \( AMB \), в котором сумма внутренних углов всегда равна \( 180^\circ \). Следовательно, сумма \( \angle AMB + \angle MAB + \angle MBA = 180^\circ \), что и требовалось доказать.

Таким образом, мы получили, что сумма углов \( \angle AMB \) и \( \angle AKB \) равна \( 180^\circ \). Это важный результат, который связывает угол между касательной и хордой с углами треугольника, образованного точками \( A \), \( M \) и \( B \). Доказательство опирается на свойства касательных и вписанных углов, а также на известное правило о сумме углов треугольника. Итоговое равенство можно записать как \( \angle AMB + \angle AKB = 180^\circ \).