ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.105 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны две окружности, касающиеся друг друга в точке \( A \). Из точки \( P \) проведены касательные \( PC \) и \( PD \) к этим окружностям, причём точки касания \( C \) и \( D \) принадлежат соответствующим окружностям. Хорды \( AB \), проходящие через точки \( C \) и \( D \), пересекаются в точке \( B \). Докажите, что сумма углов \( \angle DAC \) и \( \angle DPC \) равна \( 180^{\circ} \).

Сумма углов \( \angle DAC \) и \( \angle DPC \) равна 180°.

В треугольнике сумма углов равна 180°, значит

\( \angle DAC + \angle DPC = \angle DAB + \angle CAB + \angle DPC = \angle BDP + \angle BCP+\)
\( + \angle DPC = 180^\circ \).

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется как половина дуги, заключённой в этом угле. Это ключевое свойство позволяет связать углы, образованные касательными и хордами, с соответствующими дугами окружностей. В данной задаче у нас есть две окружности, касающиеся в точке \( A \), и касательные к этим окружностям в точках \( C \) и \( D \), которые пересекаются в точке \( P \). Для решения нам нужно найти сумму углов \( \angle DAC \) и \( \angle DPC \).

Рассмотрим угол \( \angle DAB \). Этот угол является вписанным углом в окружности, и по свойству вписанного угла он равен половине дуги, на которую он опирается. При этом половина той же дуги равна углу между хордой \( DB \) и касательной \( DP \). Следовательно, мы можем утверждать, что \( \angle DAB = \angle BDP \). Аналогично рассмотрим угол \( \angle CAB \). Он также является вписанным углом и равен половине дуги, на которую опирается. Половина этой дуги равна углу между хордой \( CB \) и касательной \( CP \), значит \( \angle CAB = \angle BCP \).

Теперь сложим углы \( \angle DAC \) и \( \angle DPC \). По построению \( \angle DAC = \angle DAB + \angle CAB \), поэтому сумма равна \( \angle DAB + \angle CAB + \angle DPC \). Подставляя равенства из предыдущего абзаца, получаем \( \angle BDP + \angle BCP + \angle DPC \). Эти три угла образуют треугольник \( \triangle BDP \), сумма углов которого равна 180°. Таким образом, окончательно имеем: \( \angle DAC + \angle DPC = 180^{\circ} \).