ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.109 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты точки, которая принадлежит оси ординат и равноудалена от точек \( C(3;2) \) и \( D(1;-6) \).

Пусть точка \( A \) имеет координаты \( (0; y) \).

Координаты вектора \( \overrightarrow{AC} = (3 — 0; 2 — y) = (3; 2 — y) \).

Координаты вектора \( \overrightarrow{AD} = (1 — 0; -6 — y) = (1; -6 — y) \).

Длина вектора \( \overrightarrow{AC} = \sqrt{3^2 + (2 — y)^2} = \sqrt{9 + 4 — 4y + y^2} = \sqrt{13 — 4y + y^2} \).

Длина вектора \( \overrightarrow{AD} = \sqrt{1^2 + (-6 — y)^2} = \sqrt{1 + 36 + 12y + y^2} = \sqrt{37 + 12y + y^2} \).

Приравниваем длины:

\(\sqrt{13 — 4y + y^2} = \sqrt{37 + 12y + y^2}\),

отсюда

\(13 — 4y + y^2 = 37 + 12y + y^2\),

\(13 — 37 = 12y + 4y\),

\(-24 = 16y\),

\(y = -\frac{24}{16} = -\frac{3}{2} = -1,5\).

Ответ: \( (0; -1,5) \).

Пусть точка \( A \) лежит на оси ординат, поэтому её координаты можно записать как \( (0; y) \). Это значит, что абсцисса точки равна нулю, а ордината — неизвестна и обозначена буквой \( y \). Нам нужно найти именно это значение \( y \), чтобы удовлетворить условия задачи.

Для начала вспомним, как находить координаты вектора, если известны координаты его начала и конца. Если вектор начинается в точке \( A(x_1; y_1; z_1) \) и заканчивается в точке \( B(x_2; y_2; z_2) \), то координаты вектора равны разности соответствующих координат: \( (x_2 — x_1; y_2 — y_1; z_2 — z_1) \). В нашем случае мы рассматриваем векторы на плоскости, поэтому третья координата отсутствует.

Рассчитаем координаты вектора \( \overrightarrow{AC} \). Точка \( C \) имеет координаты \( (3; 2) \), а точка \( A \) — \( (0; y) \). Тогда координаты вектора \( \overrightarrow{AC} \) равны \( (3 — 0; 2 — y) = (3; 2 — y) \). Аналогично найдём координаты вектора \( \overrightarrow{AD} \), где точка \( D \) имеет координаты \( (1; -6) \). Тогда \( \overrightarrow{AD} = (1 — 0; -6 — y) = (1; -6 — y) \).

Далее вспомним формулу для длины вектора с координатами \( (x; y) \): длина равна \( \sqrt{x^2 + y^2} \). Применим эту формулу к вектору \( \overrightarrow{AC} \), длина которого будет равна \( \sqrt{3^2 + (2 — y)^2} = \sqrt{9 + (2 — y)^2} \). Раскроем квадрат: \( (2 — y)^2 = 4 — 4y + y^2 \), следовательно длина вектора \( \overrightarrow{AC} = \sqrt{9 + 4 — 4y + y^2} = \sqrt{13 — 4y + y^2} \).

Аналогично найдём длину вектора \( \overrightarrow{AD} \). Его длина равна \( \sqrt{1^2 + (-6 — y)^2} = \sqrt{1 + (-6 — y)^2} \). Раскроем квадрат: \( (-6 — y)^2 = 36 + 12y + y^2 \), отсюда длина вектора \( \overrightarrow{AD} = \sqrt{1 + 36 + 12y + y^2} = \sqrt{37 + 12y + y^2} \).

Поскольку по условию задачи длины этих векторов равны, приравняем полученные выражения: \( \sqrt{13 — 4y + y^2} = \sqrt{37 + 12y + y^2} \). Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: \( 13 — 4y + y^2 = 37 + 12y + y^2 \). Сократим одинаковые слагаемые \( y^2 \) по обе стороны: \( 13 — 4y = 37 + 12y \). Перенесём все члены с \( y \) в одну сторону, а числа — в другую: \( 13 — 37 = 12y + 4y \), получим \( -24 = 16y \).

Разделим обе части уравнения на 16, чтобы найти \( y \): \( y = \frac{-24}{16} = -\frac{3}{2} = -1,5 \).

Таким образом, координаты искомой точки \( A \) равны \( (0; -1,5) \).