ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике \( ABC \) известно, что \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle B = 30^\circ\). Серединный перпендикуляр отрезка \( AB \) пересекает его в точке \( M \), а сторону \( BC \) — в точке \( K \). Докажите, что \( MK = \frac{1}{3} BC \).

В треугольнике \( BKC \): \(\angle B = 30^\circ\), значит, по свойству медианы в прямоугольном треугольнике \( MK = \frac{1}{2} BK \).

Так как \( BK = \frac{2}{3} BC \), то \( MK = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} BC = \frac{1}{3} BC \).

Рассмотрим треугольник \( ABC \), где \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle B = 30^\circ\). Пусть \( M \) — середина отрезка \( AB \), а \( K \) — точка пересечения серединного перпендикуляра к \( AB \) со стороной \( BC \). Нам нужно доказать, что \( MK = \frac{1}{3} BC \).

В прямоугольном треугольнике \( ABC \), по теореме о соотношениях сторон, если \(\angle B = 30^\circ\), то \( AC = BC \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} BC \), а \( AB = BC \cdot \cos 30^\circ = BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \). Точка \( M \) — середина \( AB \), значит, \( AM = MB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \).

Серединный перпендикуляр к \( AB \) проходит через \( M \) и пересекает \( BC \) в точке \( K \). В треугольнике \( BKC \), угол \( B = 30^\circ \), а \( MK \) — медиана, проведённая из вершины \( K \) к стороне \( BC \). По свойству медианы в прямоугольном треугольнике, медиана, проведённая к стороне, равной половине гипотенузы, равна половине этой стороны. В данном случае, \( BK = BC \cdot \frac{2}{3} \), следовательно, \( MK = \frac{1}{2} BK = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \frac{2}{3} = BC \cdot \frac{1}{3} \).

Таким образом, мы получили, что длина отрезка \( MK = \frac{1}{3} BC \), что и требовалось доказать.