ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.110 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты точки, которая принадлежит оси абсцисс и равноудалена от точек \( A(-1;5) \) и \( B(7;-3) \).

Пусть точка \(C\) имеет координаты \((x; 0)\).

Координаты вектора \(\overrightarrow{CA}\) равны \((-1 — x; 5 — 0) = (-1 — x; 5)\).

Координаты вектора \(\overrightarrow{CB}\) равны \((7 — x; -3 — 0) = (7 — x; -3)\).

Длина вектора \(\overrightarrow{a} = \{x; y\}\) вычисляется как \(\sqrt{x^2 + y^2}\).

Длина вектора \(\overrightarrow{CA}\) равна \(\sqrt{(-1 — x)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 2x + x^2 + 25} = \sqrt{26 + 2x + x^2}\).

Длина вектора \(\overrightarrow{CB}\) равна \(\sqrt{(7 — x)^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 — 14x + x^2 + 9} = \sqrt{58 — 14x + x^2}\).

Приравниваем длины: \( \sqrt{26 + 2x + x^2} = \sqrt{58 — 14x + x^2} \).

Квадратируем: \(26 + 2x + x^2 = 58 — 14x + x^2\).

Упрощаем: \(2x + 14x = 58 — 26\), \(16x = 32\), \(x = 2\).

Координаты точки \(C\): \((2; 0)\).

Рассмотрим точку \(C\), которая лежит на оси абсцисс, значит её координаты имеют вид \((x; 0)\), где \(x\) — неизвестное число, которое нам нужно найти. Мы знаем, что точка \(C\) должна быть такой, чтобы длины векторов \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{CB}\) были равны. Здесь \(A\) и \(B\) — заданные точки с координатами \(A(-1; 5)\) и \(B(7; -3)\).

Чтобы найти длины этих векторов, сначала вычислим их координаты. Координаты вектора \(\overrightarrow{CA}\) — это разность координат конца и начала вектора: \(\overrightarrow{CA} = (x_A — x_C; y_A — y_C)\). Подставляя значения, получаем \(\overrightarrow{CA} = (-1 — x; 5 — 0) = (-1 — x; 5)\). Аналогично для вектора \(\overrightarrow{CB}\) имеем \(\overrightarrow{CB} = (7 — x; -3 — 0) = (7 — x; -3)\). Таким образом, мы выразили координаты векторов через неизвестное \(x\).

Далее нужно найти длины этих векторов. Длина вектора \(\overrightarrow{a} = (x; y)\) вычисляется по формуле \(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\). Для \(\overrightarrow{CA}\) длина равна \(\sqrt{(-1 — x)^{2} + 5^{2}} = \sqrt{( -1 — x)^{2} + 25}\). Раскроем квадрат: \((-1 — x)^{2} = 1 + 2x + x^{2}\), следовательно длина \(\overrightarrow{CA} = \sqrt{1 + 2x + x^{2} + 25} = \sqrt{26 + 2x + x^{2}}\). Для \(\overrightarrow{CB}\) длина равна \(\sqrt{(7 — x)^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{(7 — x)^{2} + 9}\). Раскроем квадрат: \((7 — x)^{2} = 49 — 14x + x^{2}\), значит длина \(\overrightarrow{CB} = \sqrt{49 — 14x + x^{2} + 9} = \sqrt{58 — 14x + x^{2}}\).

По условию задачи длины этих векторов равны, поэтому приравняем выражения: \(\sqrt{26 + 2x + x^{2}} = \sqrt{58 — 14x + x^{2}}\). Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней: \(26 + 2x + x^{2} = 58 — 14x + x^{2}\). Сократим одинаковые члены \(x^{2}\) с обеих сторон, останется \(26 + 2x = 58 — 14x\). Перенесём все члены с \(x\) в одну сторону: \(2x + 14x = 58 — 26\), то есть \(16x = 32\). Разделим обе части на 16 и найдём \(x = 2\). Таким образом, координаты точки \(C\) равны \((2; 0)\).