ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.111 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Окружность задана уравнением \((x+4)^2 + (y-1)^2 = 12\). Как расположена точка \( A(-2;3) \) относительно этой окружности?

Уравнение окружности: \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = r^2\).

Центр \(C(-4; -1)\), радиус \(r = \sqrt{12}\).

Координаты вектора \(\overrightarrow{CA} = (2; 4)\).

Длина вектора \(|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}\).

Сравниваем длину вектора с радиусом: \(\sqrt{20} > \sqrt{12}\).

Точка \(A\) находится за пределами окружности.

Уравнение окружности в прямоугольной системе координат задаётся формулой \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = r^2\), где \((x_0; y_0)\) — координаты центра окружности, а \(r\) — её радиус. Это уравнение описывает все точки \( (x; y) \), которые находятся на расстоянии \(r\) от центра \(C\). В данном случае центр окружности задан точкой \(C(-4; -1)\), а радиус равен \(r = \sqrt{12}\).

Для определения положения точки \(A\) относительно окружности нужно найти вектор \(\overrightarrow{CA}\), который направлен от центра окружности \(C\) к точке \(A\). Если у точки \(A\) координаты \((x_A; y_A)\), то координаты вектора \(\overrightarrow{CA}\) вычисляются как разница соответствующих координат: \(\overrightarrow{CA} = (x_A — x_0; y_A — y_0)\). В нашем случае \(\overrightarrow{CA} = (2 — (-4); 4 — (-1)) = (6; 5)\). Однако на изображении в шаге 4 дан вектор \(\overrightarrow{CA} = (2; 4)\), значит точка \(A\) имеет координаты \( (-2; 3) \), а не \( (2; 4) \). Следовательно, \(\overrightarrow{CA} = (-2 + 4; 3 + 1) = (2; 4)\).

Длина вектора \(\overrightarrow{CA}\), которая равна расстоянию от центра окружности до точки \(A\), вычисляется по формуле длины вектора: \(|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{x^2 + y^2}\), где \(x\) и \(y\) — координаты вектора. Подставляя значения, получаем \(|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}\).

Чтобы определить, находится ли точка \(A\) внутри, на окружности или вне её, сравниваем длину вектора \(|\overrightarrow{CA}|\) с радиусом окружности \(r\). Если длина вектора меньше радиуса, точка внутри; если равна — на окружности; если больше — вне окружности. В нашем случае \(\sqrt{20} > \sqrt{12}\), следовательно, точка \(A\) расположена за пределами окружности.