ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.112 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок \( MK \), если \( M(-3;4) \), \( K(5;10) \).

Пусть точка \( O \) — середина отрезка \( MK \). Координаты точки \( O \) равны полусумме координат концов отрезка:
\( O\left(\frac{-3+5}{2}; \frac{4+10}{2}\right) = O(1; 7) \).

Так как \( O \) — середина \( MK \), то \( MO = OK = r \). Значит, \( O \) — центр окружности.

Координаты вектора \( \overrightarrow{OK} \) равны разности координат конца и начала:
\( \overrightarrow{OK} = (5-1; 10-7) = (4; 3) \).

Длина вектора \( \overrightarrow{OK} \) вычисляется по формуле:
\( |\overrightarrow{OK}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \), значит \( r = 5 \).

Уравнение окружности с центром \( C(x_0; y_0) \) и радиусом \( r \) в прямоугольной системе координат:
\( (x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = r^2 \).

Подставляем значения:
\( (x — 1)^2 + (y — 7)^2 = 25 \).

Для начала вспомним, как найти координаты середины отрезка. Если у нас есть отрезок с концами в точках с координатами \( (x_1; y_1) \) и \( (x_2; y_2) \), то координаты середины этого отрезка находятся как полусумма соответствующих координат концов. То есть, координаты середины \( O \) вычисляются по формулам \( x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} \) и \( y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2} \). Это важно, потому что точка середины делит отрезок на две равные части, и её координаты лежат ровно посередине между координатами концов.

В нашем случае точки \( M \) и \( K \) имеют координаты \( M(-3; 4) \) и \( K(5; 10) \). Тогда координаты середины \( O \) считаем так: \( x_0 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \), \( y_0 = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7 \). Таким образом, точка \( O \) имеет координаты \( (1; 7) \). Поскольку \( O \) — середина отрезка \( MK \), длины отрезков \( MO \) и \( OK \) равны, и эта длина будет радиусом окружности, если \( O \) — центр окружности, а \( M \) и \( K \) — точки на окружности.

Далее, чтобы найти длину радиуса, нужно вычислить длину вектора \( \overrightarrow{OK} \). Координаты вектора находятся как разность координат конца и начала: \( \overrightarrow{OK} = (x_K — x_O; y_K — y_O) = (5 — 1; 10 — 7) = (4; 3) \). Длина вектора \( \overrightarrow{a} = (x; y) \) вычисляется по формуле \( |\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \). Подставляем наши значения: \( |\overrightarrow{OK}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \). Это и есть радиус окружности \( r \).

Теперь вспомним уравнение окружности в прямоугольной системе координат с центром \( C(x_0; y_0) \) и радиусом \( r \). Оно записывается как \( (x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = r^2 \). Подставляя найденные значения центра \( O(1; 7) \) и радиуса \( r = 5 \), получаем уравнение окружности: \( (x — 1)^2 + (y — 7)^2 = 25 \). Это уравнение описывает все точки \( (x; y) \), находящиеся на расстоянии 5 от точки \( (1; 7) \), то есть на окружности с заданным центром и радиусом.