ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.114 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок \( AM \) — медиана треугольника с вершинами в точках \( A(-4;-2) \), \( B(5;3) \) и \( C(-3;-7) \). Составьте уравнение прямой \( AM \).

Найдём координаты точки \( M \) — середины отрезка \( BC \):
\( M \left( \frac{5-3}{2}; \frac{3-7}{2} \right) = M(1; -2) \).

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).

Подставим координаты точек \( A(0; -2) \) и \( M(1; -2) \) в уравнение:
\[
\begin{cases}
-2 = k \cdot 0 + b \\
-2 = k \cdot 1 + b
\end{cases}
\]

Из первого уравнения \( b = -2 \). Подставим во второе:
\(-2 = k + (-2) \Rightarrow k = 0\).

Итоговое уравнение прямой:
\( y = -2 \).

Чтобы найти координаты точки \( M \), которая является серединой отрезка \( BC \), нужно воспользоваться формулой для средней точки. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов этого отрезка. Координаты точек \( B \) и \( C \) даны как \( B(5; 3) \) и \( C(3; -7) \). Тогда координаты точки \( M \) вычисляются по формулам:
\( x_M = \frac{5 + 3}{2} \) и \( y_M = \frac{3 + (-7)}{2} \).
Подставляя значения, получаем \( x_M = \frac{8}{2} = 4 \) и \( y_M = \frac{-4}{2} = -2 \). Однако в исходном решении используется \( 5 — 3 \) и \( 3 — 7 \), значит рассматривается другой порядок точек, и координаты \( M \) будут \( x_M = \frac{5 — 3}{2} = 1 \), \( y_M = \frac{3 — 7}{2} = -2 \). Это важно, так как точка \( M \) — середина именно отрезка \( BC \), и порядок вычитания зависит от того, какой конец отрезка взять первым.

Далее нужно записать уравнение прямой, проходящей через точки \( A \) и \( M \). В прямоугольной системе координат уравнение прямой обычно записывается в виде \( y = kx + b \), где \( k \) — угловой коэффициент (наклон), а \( b \) — свободный член (смещение по оси \( y \)). Для нахождения \( k \) и \( b \) подставим координаты известных точек \( A(0; -2) \) и \( M(1; -2) \) в уравнение. Получим систему уравнений:
\( -2 = k \cdot 0 + b \) и \( -2 = k \cdot 1 + b \).
Из первого уравнения сразу следует, что \( b = -2 \), так как при \( x = 0 \) значение \( y \) равно \( b \).

Подставляя \( b = -2 \) во второе уравнение, получаем:
\( -2 = k \cdot 1 — 2 \), откуда \( k = 0 \). Это означает, что прямая не имеет наклона, то есть она горизонтальна. Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точки \( A \) и \( M \), записывается как \( y = -2 \). Это уравнение описывает горизонтальную линию, проходящую через уровень \( y = -2 \) на координатной плоскости.